24 J. SOMOFF, 
' AD = z^{r cos H- t sin ^а) ds 
ou 
as 
ç et Yi étant les coordonnées du point A'. 
La surface (9) pouvant être remplacée par son paraboloïde osculateur 
on peut prendre pour le paramètre différentiel du premier ordre de 9 au point, dont la 
projection sur le plan Ey] est A', le paramètre dn paroboloïde au point (^, y], Les pro- 
jections de ce paramètre sur les axes des coordonnées sont 
et sa valeur У 1 н-г^Н '-»- Рті^; ce qui représente aussi la longueur de ВС. Les coordon- 
nées du point С sont rt et tri, et 
AÜ= Odt = Vr'V^t'r. 
Désignant par ф l'angle CAD, nous aurons par ce qui précède 
cos 9 
Cette formule détermine l'angle formé par le plan de la section normale et le plan parallèle 
aux deux normales infiniment proches de la surface. 
On considère ordinairement le sinus de cet angle. Pour trouver son expression directe- 
ment, menons AE égale et perpendiculaire à AG; nous aurons 
AE . ^^'cos (A'AE) = m . ds . sin ф ; 
or — tri et rE sont les projections de AE sur les axes ^ et т] ; par conséquent le premier 
membre a pour valeur 
/Yj H- 7] . гЕ = (r — f jlYj; 
donc 
sm Ц) 
ds . fjdt 
La plus courte distance des normales de la surface, menées aux points A et (|, yj, Ç), est 
égale à la perpendiculaire A'F abaissée du point A' sur AC; elle a donc pour expression 
le produit 
AA' 8Іпф=-^=Ж=. 
Si r — t n'est pas nulle, c.-à-d. si les courbures principales r et f ont des valeurs inégales, 
cette distance ne peut être nulle que pour ^ = 0 ou Yj = 0. Ce qui montre que les lignes 
de courbure ont les directions des axes | et y]. 
