Sue les paeamètees différentiels du 1" et du 2^ ordees. 
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de la vitesse v, dont la direction détermine la tangente à l'une des lignes de courbure, 
au point A. 
Il est facile de démontrer que les directions qu'on trouvera ainsi pour cette tangente 
font un angle droit, chaque fois que les racines de l'équation (38), ou les courbures — et 4-» 
sont inégaies. 
Supposant que les valeurs w,, v répondent à Tune des racines de l'équation (38) 
et que м/, г*./, et v' sont ces valeurs pour l'autre racine, considérons le produit géomé- 
trique 
vv cos [vv'). 
Ce produit peut être mis sous la forme 
vv' cos (mi') = v' [n^' av cos {va.) h- hv cos («ß) и- u.^ cv cos (г^у)] , 
où l'on a 
, , dT ^ 
av cos (vKx) = -^, — — V za^ ^и^ 
dT 
Ъѵ cos {ѵ^) = ^ 21, = V ^а.^^^ 
dT 
сѵ cos {vfi — -щ^ = = 
par conséquent 
cos ( vv') = ' ^ a, M, -+- гі^ ' 2 a, ^ -+- 2 а^^^ и^. 
Multipliant respectivement par les équations (35), faisant ensuite la somme en 
ayant égard à l'équation 2,^îiJ = 0 . on trouve 
^ [^/ ^ «1 .s % 2 «2,n^' % ^ «3..V = — 2 6^^, m/; 
par conséquent 
Xcos(w')== — I.b^/u^uJ. 
Par la même raison, si l'on désigne par X' la seconde racine de l'équation (38), on aura 
X' cos (г'?;') = — 2 гі/ и^. 
Or, les seconds membres de ces deux dernières équations étant identiques, on a 
(X — X') cos(w/) = 0 , 
et cos(?;»/) = 0, quand X n'est pas égale à X', ce qui démontre la proposition. 
Si les coordonnées q^, q.^, q^ sont rectilignes, les valeurs ^ sont constantes; donc 
leurs dérivées par rapport à ^,, q^, q^ sont nulles, ce qui réduit les valeurs (30) à 
— dq,^' — — »3,3—— -^-^ 
~ do. da. ' '^З.і — — и„.. dn. ♦ ^^'.2 — 
