Sur les paeamètees différentiels du 1" et du 2* ordres. 
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L'expression (51) se réduit de même à celle-ci 
1 1 _ ßi,igH-ß3,,^-2J-ßi,2 
qui s'accorde avec la formule donnée par M. Minding (De curvatura superficierum 
questiones. Dorpat, 1863, pag. 14). 
C'est en partant de la formule (56) que Gauss, par une suite de transformations, 
obtient la formule importante 
dE dG 
4 {EG — F'')k = E\~. 
fdE dG dE dG ^ dE dF 
dF dG 
\_dp' dq 
\_dq dq^ " dp dq ^ / J 
^dF àF _ dF dG-\ 
dq' dp " dq' dq dp ' dq ^ dp ' dp J 
\_dp' dp dp ' dq 
dE dF 
— 2{EG — F') ( 
d-^E 
dq^ 
dq 
d'^F , d4l^ 
dp'^ 
dp dq 
) 
<5») 
OÙ к = 
Les calculs par lesquels il arrive à ce résultat, peuvent être en quelques points sim- 
plifiés au moyen des propriétés des déterminants. Posant 
dtti 
CL. 
dbj 
ßdctj 
i ' dq 
dbi 
dp г ' dq ^і^ dq dp 
2 a. a. = m, 2 a. ß . = m', 2 a. y . = m" 
on peut mettre les expressions (55) sous la forme de déterminants: 
et, par le principe de la multiplication des déterminants, on trouve 
<5S) 
OL^ GC2 Cto 
ß-2 
ïi 
Ъ 
ъ 
Cl^ ^'3 
a, 
a. 
«2 
(h 
6, 62 h 
6, 
ь. 
h 
ßl,,ß2,2 = 
2a.ß., 2a.a., 2&.a. 
m', E, F 
F, G 
n 
= {EG — F'^)'bai^i.^m' (Fn-Gm)-i-n' {Fm -En) 
Mémoires de l'Acad. Imp. des sciences, Vllme Série. 
