Sur les paramètres différentiels du 1" et du T ordres. 
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Supposant que P soit le paramètre différentiel du premier ordre de la fonction cp au point 
Ъч Ъ.1 Ъі et que 4 Р^ = Ѳ = ^/г^^Ф^Ф^, substituons dans la formule (14) de l'article 3, 
savoir 
Ш ^ "-W] =f[^'^^ cos (m) -K- cos {п^) -H 4з cos {щ]] dS, 
aux fonctions фі, фг; Фз» qui peuvent être quelconques, les valeurs particulières 
Z ^ 
et étendons l'intégrale triple à tous les éléments du volume limité par la surface 5^. Le se- 
cond membre de l'équation précédente sera alors étendu à tous les éléments de la surface S. 
L'expression qui se trouve dans ce membre sous le sigue / se réduit à 
|,|_a^cos(m) 
par conséquent 
cos (wß) 
Ai WdQ 
С cos (wy) ] dS = fdSi 
p rftpj 
dqi dq.2 dq^ = J fdS . , , . . (59) 
On a ainsi une formule générale pour exprimer une intégrale quelconque ffdS^ étendue à 
tous les éléments d'une surface fermée, par une intégrale triple, étendue à tous les éléments 
du volume limité par cette surface, les points étant déterminés par des coordonnées quel- 
conques 2i, Ъ- C'est la généralisation de la formule, dont s'est servi M. Borchard, 
en supposant que les coordonnées sont rectilignes. Posant par exemple f — 1 , on trouve 
pour l'aire totale de la surface 8 l'expression 
S 
/// 
w de 
p de^^ 
» p йф,/ 
dq^ 
dq.^ 
dqidq^dq^ 
(60) 
Soit X une longueur portée sur les directions de tous les paramètres P, qui répondent aux 
points de la surface 5', à partir de chacun de ces points. Le lieu des extrémités de tous 
les X sera une surface fermée parallèle à Л', que nous désignerons par S' . On aura évi- 
demment 
dS' : dS = (Л, -+- X) {R, 4-l):R,R,= l4-Gh-+- HX\ 
Ri et Ri étant les rayons de courbure principaux de la surface 8, et les courbures 
1 1 rr 1 
G = 
FI 
jRj B2 
étant déterminées par les formules (39) et (40). 
