44 J. SOMOFF, 
L'aire totale de la surface S' aura pour valeur 
S' = S-^ l/GdS -H l^/HdS 
Or, au moyen de la formule (59), on trouve 
<6i). 
d 
mG d& 
d 
d 
wG dQ 
d((>J 
3 _J 
dqi dq^2 
' I wH de \ ni тН dQ \ w wH dQ \ 
dqy 
dq^ dq^ dq^ . . (6») 
dq^dq^dq-i . .(вЗ) 
La première de ces intégrales est ce que Steiner a nommé courbure cylindrique et la 
seconde est, suivant la définition donnée par Gauss, — la courbure totale (curvatura 
Integra). 
Le volume compris entre les surfaces parallèles *S' et S' est exprimé par l'intégrale 
V=fSdl=/[S^l/GdS-*-\yHdS] d\ 
0 'o 
= 8\^\\^fGdS-^l\^fHd8 . . . . 
(6i) 
Soit encore 5"^ une surface donnée par l'équation ©— c^, où la constante est moindre 
que c, répondant à la surface S, et une surface parallèle à -S^ à la distance X de S^. Si l'on 
désigne par le volume compris entre ces deux surfaces, on pourra, comme le démontre 
M. Borchard, décomposer les deux volumes VetV^ en éléments correspondants tels que 
dF: dF„= (l -H i^) ( 1 -H І-) = 1 + GX -,- ЯХ', 
où les valeurs de J?,, В^, G, H se rapportent aux coordonnées g,, q^. q.^, de l'élément 
dV ^ = m dq^ dq.^dqo. On aura donc 
F =: -+- \fffG^ d% (^^2 ^fff ^% 
Si l'on prend pour la valeur minimum de ф, la surface se réduira à plusieurs points 
isolés, et la surface se convertira en autant de sphères. Désignant donc par n le 
nombre de ces points isolés, on aura V^= |w7i:X^; par conséquent 
V = ^пт:\^ X IffGmdq^ dq^dq^ \^fffHmdq^ (1%^%' !• 
Comparant cette expression à (64), avec laquelle elle doit être identique, on trouve 
S=fffGâidq^dq.^dq^, 
■ fGdS = 2fffHw dq^ dq^ dq^ 
fHdS=4%n 
