MÉMOIRE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMETRIQUES. 37 
Si l'on change les variables x et «/, en posant 
ж -+-?/ = Sj , a? y- = s^^ 
l'équation différentielle, d'après la formule (AJ du 5, devient 
ds, ds^ 
Pour donner une application de ces équations, supposons qu'il faut trouver los trajectoires 
orthogonales des courbes 
a {3? -b if') -+-/"(«-»- II) — Const. 
a désignant une constante, f (x~^y) une fonction donnée quelconque de x-\~y. 
L'équation différentielles des trajectoires est 
[f (x-\-y)-^2 ax] dy — [/' {x -h ?/) -t- 2 ay] clx — 0. 
Pour passer aux variables Sj et s,, remarquons d'abord que 
щ = as^-\- f (Sj) ; 
donc l'équation transformée sera 
/' (Si)-t-r(S, ~ s,/'(Si)-t-2aS2' 
Nous n'avons donc qu'à intégrer l'équation linéaire 
ds^ f'{Si)-t-nSi 2 /'(s,) -4- as,' 
De même, si on cherche les trajectoires orthogonales des courbes définies par l'équation 
(x — [a {x- H- 7/2) -t- /• (ж îj)] = Const. 
en l'exprimant par les variables 
s^ = x -^y et s, = y" 
on aura 
(2 S3 — s,y^ [as, f (Sj)] Cons^. 
