MÉMOIEE SUE l'iUTÉGEATION DES ÉQUATIONS DIFFÉEENTIELLES SYMÉTEIQUES. 35 
Ainsi p. ex, l'équation 
} M H- a, ж ttj y -f- -f- ^2/ -f- 7/2 H- (ж -H 2/) (Yq -f- Yj xy -ь Ya y') ] dy 
-H î 10 -b 7/ -H ttj ж H- 2/^ H- ßi ігг/ -f- (ж -b (Yq y" -+-^^xy-t- Ya x^)\ dx = 0, 
vérifiant les conditions 1), est toujours intégrable. 
En supposant: ßg = 0, Yi = ïa? ïa 0, on a 
K — «1 — ßol'— ïo 2] dq4-[—(ù-i-a, 2)-H-(ßo— ßj) з] t?;j-i-(Yo— Yi) P (pdq— qdp) = 0 
l'équation appartenant à une forme générale qui a été intégré par Jacobi. On en conclut 
de l'intégrabilité de l'équation 
[o H- ж H- a, 2/ H- ßo -^- ßi -^- To ■+■ ïi dy 
H- [m -ч- 2/ -ь ttj ж-i-ßo 2/'-bßi 2/^ -+- ïo 2/' -+- ïi 2/^ (^-ьт/)] dx = 0. 
о, a, ß, Y étant des constantes. 
On peut obtenir plusieurs autres cas d'intégrabilité, sous certaines conditions, de l'é- 
quation (a) en supposant le degré du polynôme X supérieur à 3, mais nous ne pousserons 
pas plus loin cette discussion. 
L'équation 
Xdy — iX)dx = 0 (a) 
étant une autre forme d'équations différentielles admettant l'intégrale symétrique devient 
[X -i- (X)] dq-^ІуХч-х (X)] Ф = 0 (a,) 
quand on y introduit les variables жн-т/ = — xy = q. 
Si l'on suppose que X soit exprimé par la formule (|) on trouve pour les coéfficients 
de dq et dp les éxpressions 
X-i-(X)=2«-(ao-t-a,)i;H-(ß,-bß,)i>2-t-2 (ß.-ß,-ß,)3-b.. . 
7/Х-і-ж(Х) = -«»-і-а, p2-ß.3iJ^-+-K_2a.-+-(3 ß^-ßo — ß.) V\<1-^--- 
en fonctions entières de^ et q. On voit par là que X étant un polynôme du 1-er degré, on 
aura 
dq _^ "o — 2 «1 _ (t^ — "|j^)i> 
dp 2 w — («0 *i) P 2 (u — («0 -t- a,)2? 
l'équation linéaire que l'on peut intégrer si w, a^,, aj sont non seulement des constantes, mais 
mêmes des fonctions quelconques de ж -h 
