MÉMOIRE Süß l'intégration DES BQQATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 
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Ainsi les coéfficients de dq^ et dp dans l'équation {a^ s'expriment par les fonctions 
entières de p et q. 
On sait intégrer immédiatement l'équation {a) si le polynôme X est du 1-er degré; 
en le supposant du 2-d degré on aura l'équation transformée 
K-a,H-(ß,-ß,)i^] dq 
[— « -»- «1 (ßo — ßi -H ßa) 3 — % f\ dp = 0, 
ou 
dq _^ ßo— ßi-^-ßz ^ (D — a,j?-4-p2j/- 
dp "o — «i-*-(ß2— ßo)2^ ^ ' 4-^i-*-(?2 — ?o)P' 
On trouve son intégrale au moyen du facteur 
si ocq, ttj, ßg, ßj, ßg sont des constantes; mais, si ces quantités au lieu d'être constantes sont 
des fonctions quelconques de x-t-y, on pourra encore exprimer par des quadratures l'inté- 
grale de l'équation précédente en la multipliant par le facteur 
f ßo-ßl-^ß2 л„ 
J „o-a.-H^^-ßoli' ^ 
OÙ tto, ttj, ßo, ßj, ßg seront des fonctions données de p. 
Dans ces deux cas les facteurs et les intégrales s'exprimeront par les fonctions symé- 
triques des variables primitives x et y, et ces variables seront les racines d'une équation du 
2-d degré 
x^-i-px-t-q = 0 
où q est une fonction explicite de p, donnée par l'intégrale de l'équation précédente. 
Nous allons appliquer ce résultat au problème IV du иМі, pour obtenir sa solution 
d'une nouvelle manière. En remarquant qu'en vertu de l'identité 
Xi -H -H Хз = 0 
on a une de ses intégrales 
^2 -H = Const = с 
et en éliminant au moyen de cette équation x^ de l'équation différentielle 
Xj dx^ — Xg dXj^ = 0 
Mémoires de l'Acad. Imp. d. se. VII Serie. 5 
