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В. Imchenetsky, 
fonction symétrique, ф (и) étant une fonction arbitraire. Dowc, tout facteur de Véquation (a') 
est une fonction symétrique. 
Cette consclusion ne s'étend pas sur l'équation 
(a") Xdy — {X) dx = Q 
Étant intégrée au moyen d'un facteur symétrique ^ l'équation (a") fournit une intégrale 
alternée v; donc tout son facteur étant de la forme [x cp {v) est une fonction symétrique, si 
cp {v) est une fonction pair, ou bien — une fonction alternée, si 9 (г;) est une fonction 
impair. Il est clair qu'intégré au moyen d'un facteur alternée l'équation (a") fournira une 
intégrale symétrique. 
Il faut remarquer du reste que la distinction entre les intégrales symétriques et al- 
ternées de l'équation (a") n'est pas essentielle, car élevée au carré l'intégrale alternée de- 
vient une intégrale symétrique. 
13. Exemples particuliers de riotégratlon de Téquation (a). 
Considérons d'abord l'équation 
(a') Xdy-t- (X) dx = 0 
Si les coéfficients X et (X), que l'on déduit l'un de l'autre par la permutation de x 
et y, sont rationels par rapport à ces variables, on les fera entiers en chassant les dénomi- 
nateurs. Posons donc 
(I) X=(ô-i-a^ ж-ьа, 2/-«-ßo ^2/-*-^2 *'-»-ïi 2/-+-Ï2 У^-^ • • • 
en supposant le polynôme X terminé aux termes d'un certain degré et ses coéfficients 
ttj,. . . constants, si on ne change par cette hypothèse ce qui sera dit expréssement. 
Par l'introduction des nouvelles variables 
x-+-y = — p et xy = q 
l'équation (a') devient 
(a,) ^-^dy-^^^'^Up = 0 
V 1^ y — x ^ y — x ^ 
Mais comme on a 
(Z) = « H- ?/ ttj ж -I- ßo ?/2 -t- ßi jv/ H- ж" H- т" 2/^ H- Yi 2/^ 2/ -»- T2 ^{^ х^ -\- . . . 
on trouve facilement 
(|lz^:= H_ (ß^ - ßj ^ (y,- Y3) / -H (Y^ - y, Y3- Yo) g -b . . . 
(-^^^^^-a-ba,;)-+-(ß,-ß,-4-ß3) 2-ß,/-i-[(Y,-Yo-2Y3) <1-^Ъ^\Ѵ-^- ■ • 
