MÉMOIRE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 31 
3) excepté ces cas particuliers on peut poser généralement 
]}. = X. Y 
en désignant par X et Z deux fonctions de x et y, dont l'une X par ex. n'est ni symétri- 
que ni alternée, et l'autre Y est au contraire ou symétrique ou alternée. On a donc 
et l'équation différentielle (b) par cette valeur de /' {x, y) se réduit à la forme (a) ce qu'il 
fallait démontrer. 
Ce qui concerne le facteur de l'équation (a) il est aisé de montrer qu'il est ou immé- 
diatement symétrique ou doit conduire à un facteur symétrique. Soit X le facteur et и l'inté- 
grale corréspondante de l'équation (a); on a 
llXdyzt (X) dx] = du 
d'où on tire, eu transposant les variables x et y, 
(X) [X dy ± (X) dx] = d .[± [u) I 
Des deux signes dt: retenons d'abord le signe supérieur; alors X et (X) étant des ілс- 
teurs de la même équation différentielle satifont à la même équation aux dérivées partielles, 
de sorte que l'on a 
д log X d\og к д{Х) дХ 
дх ày ду дх ' 
^ д log(X) _ ,^ r)log(X) ^ д_{Х) _ дХ 
дх ^ ' ду ду дх ' 
Ces deux équations sont identiques si (X) = X, c'est-à-dire si le facteur X est une 
fonction symétrique; dans le cas contraire en faisant leurs demi-somme on a 
^ ^ log/ЦІ) д log /МХ) _ д(Х) _ (ПС 
дх ^ ' ду ду дх 
се qui montre que l'équation différentielle considérée a un facteur symétrique |і = УХ(Х). 
Mais il est facile de voir que l'équation (a) prise avec le signe supérieur, c. à d. 
Xdy^- (X) dx = 0 (a ) 
étant intégrée au moyen du facteur symétrique [x fournit une intégrale symétriques; d'oiil'on 
voit que tout facteur de cette équation est de la forme ф (м), qui représente toujours une 
