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в. Imchenetsky, 
12. De répatioD différentielle du 1-r ordre à deux variables admettant une inté- 
grale symétrique ou alternée. 
De nos conclusions générales, obtenues plus haut, sur la forme des systèmes d'équations 
différentielles symétriques il suit immédiatement que, dans le cas le plus simple, quand le 
nombre des variable n se réduit à deux, la forme de l'équation du premier ordre admettant 
une intégrale symétrique ou alternée est la suivante 
(a) Xdy± (X) dx = 0 
où on désigne par X une fonction quelconque de x et de y et par (X) ce qu'elle devient 
quand on y permute les variables x et y. On peut tirer directement cette conclusion des 
considérations fort simples. Soit en effet 
(b) dy-^-f {x, y) dx=0 
une équation admettant une intégrale symétrique ou alternée w, que l'on peut obtenir au 
moyen d'un facteur [x, de sorte que 
[X [dy -+- f {x, y) dx] — du. 
Si l'on fait la permutation des variables x et y dans la dernière égalité, en ayant 
égard a ce qu'on a 
{u) = rt M, 
selon que и soit, d'après la supposition, une fonction symétrique ou alternée, on aura 
(ix) [dx -t- f {y, x) dy] = d{± u). 
Des deux égalités précédentes on conclut que 
g = 11. /■ (ж, 2/) = ± {^) 
d'où il suit que 
f{x,y) = ±^^. 
On voit par là: 1) pour que l'équation différentielle du 1-er or. de la forme (b) 
admette une intégrale symétrique ou alternée il est nécessaire que 
f (Ж, y) f{y,x)=l; 
2) le facteur jx de cette équation ne peut être ni une fonction symétrique ni une fonction 
alternée, que dans les cas 
f{x,y)=±l- 
