MÉMOIEE Süß l'iNTÉGEATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 17 
h, k, i désignant des indices différents non supérieurs à n; alors par l'effet de la même 
transposition les systèmes d'équations (1) et (3) se changeant respectivement en 
dxß 
dt ■ 
et 
X. {i=l, 2, 
n) 
n) 
(3') 
montrent que seulement le système (3) est symétrique. 
Il est facile de faire voir, comme au w** 2, que le système complet d'intégrales des 
équations (3) s'exprime par des fonctions symétriques de ж^, Жд,. . . ж^, si les conditions (2') 
sont vérifiées. On peut obtenir ces intégrales symétriques en introduisant dans les 
équations (3) les variables (P) ou (S) du w° 3 au lieu de ж^, «g,. . . x^. Mais cette transfor- 
mation ne peut être efféctuée, sans demander la résolution générale de l'équation algébrique 
f {x) = 0 du degré w, que pour certaines formes d'équations différentielles symétriques ana- 
logues à (A) ou (B). 
Pour obtenir les équations demandées il suffit de'supposer: l)que la variable t n'entre 
pas dans (A) et (B) que par sa différentielle dt de sorte qu'elle peut en être éliminée; 2) que 
ffj, CTg, . . ., o-j. étant des fonctions symétriques, comme auparavant, les fonctions cp, 9^..., 9^ 
au lieu d'être aussi symétriques sont maintenant des fonctions rationelles et alternées. 
En effet il est facile de montrer l'éxistence des égalités: 
en supposant que 9 soit une fonction alternée de x^, x^,. . . , x^, et que par parenthèses on 
indique, comme ci-dessus, les résultats de transposition des variables Жд et ж^, й, i étant 
des indices différents non supérieurs à n. 
Or toute fonction 9 rationelle et alternée de ж^, x^,..., x^ doit avoir la forme 
9 = S.n, 
S étant une fonction symétrique et l'autre facteur П de 9 pouvant être mis sous une des formes 
suivantes: 
n = (x^ — x^) (x^ — x^) (x^—x^) ... 
_ ... (x^ — x,) (x^ — X,)... — ж„_^), 
П= 1 1 1 ...1 
n 
.30j 
Mémoires de l'Acad. Imi). d. se. VU Série. 
