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в. Imchenetsky, 
ou 
{g, Je, i) = 0, 
en ayant égard à (2) et à ce qui est démontré plus haut 8). 
De la même manière de cette dernière égalité on tirera 
(g, l,i) = 0 et enfin {g, l, j) = 0, 
l étant un indice différent de k, i, g et j de i, g, l. 
Donc nous avons démontré que si les fonctions , , . . . , satisfont aux conditions 
de symétrie (2) et vérifient en même temps une seule des conditions (23), il existe alors un 
facteur jj-, fonction symétrique de ж^, Жд,. . ж^, tel que l'éxpression 
It (Xi dx^ -+-X^dx^-^ . . . -\- X„ dx^ 
soit une difî'érentielle éxacte d'une certaine fonction ф symétrique e>w x^, x^,. . . , x^. 
On obtient ce facteur en intégrant une équation différentielle du 1-r ordre à deux va- 
riables, p. ex. 
Xi dx^ -4- X3 dx^ = 0 
en y regardant t, x^,, . x^ comme des constantes. 
Quand on aura obtenu la fonction symétrique 9 par la quadrature j ^ 2 dx^, on 
pourra mettre les équations (1) sous la forme 
qui n'est qu'un cas particulier des équations (B), correspondant aux suppositions: 
9i = 9, ^1 = ^: ^2 = ' • '=<^r = ^- 
Donc, quand on passe des variables primitives aux variables 2? ou s du 3, on aura 
les transformées des équations (C) par les formules (BJ . . . (BJ. 
10. Au lieu des conditions (2) qui définissent la symétrie des systèmes d'équations (1) 
et (3) et d'où découlent leurs propriétés communes démontrées plus haut, on peut assujetir 
les fonctions données X à d'autres conditions, telles qu'en vertu d'elles le système (3) 
restera symétrique tandis que les équations (1) ne le seront plus. Imaginons pour cela 
de nouveau une transposition dans les fonctions X de deux quelconques des variables 
Xj^, x^j. . . x^, par ex, et ж^^, et supposons que l'on obtient 
(2') 
(X,)=:-X„(X^ = 
-X„(X,)=:-X, 
