MÉMOIBE SUE l'iNTÉGEATION DBS ÉQUATIONS DIFFÉEENTIELLES SYMÉTEIQUES. 15 
De là il suit que 
h, Je, i étant des indices différents non supérieurs à n. 
D'après les propriétés des dérivées partielles de la fonction symétrique ф (w° 4), en trans- 
posant et nous aurons 
(l.)(X,) = ii.X„ i^)iX,)=v.X„ (ii.)(X,) = ixX, 
d'où, en vertu des conditions (2), il suit 
c'est à dire que le facteur ^ doit être une fonction symétrique. 
Par l'élimination de ф et de [x des équations (22), il vient 
^.(t-^-^^4i'-f')-^'(t-t) = 0 (23) 
h, Je, i étant des indices différents quelconques pris dans la suite 1, 2, . . . , и. Le nombre 
des conditions (23) est égal à — 1) — 2); mais ces conditions ne sont pas toutes 
indépendantes les unes des autres. En écrivant les quatre équations (23) renfermant trois 
des quatre indices différents Jt, Je, i, l, non supérieurs à n, on trouve, comme on sait, que 
chacune d'elles est la conséquence des trois autres. De là on conclut que généralement le 
nombre des conditions (23) distinctes ou indépendentes se réduit à y (w — 1) (w — 2). 
Dans le cas que nous considérons, c'est à dire quand les conditions (2) ont lieu, les 
conditions (23) se réduisent à une seule, d'oti l'on peut obtenir, comme on le fera voir, 
toutes les autres, de la même éspèce, par des transpositions des variables x^, x^,. . . x^. 
En effet, supposons que l'égalité (23) ait lieu pour quelques valeurs particulières de 
/г. Je, i différentes entre elles et non supérieures à w. 
Avec la notation déjà employée plus haut ou peut l'écrire 
Хд (Je, i) -+- (г, Ji) -+- {Ji, Je) = 0 
ou plus brièvement ' 
(Ä, Je, i) = 0. 
Cette identité en donnera d'autres si l'on y fait des transpositions des variables 
, ^2 , . . . , x^. Mais en transposant et х^, g étant un indice différent de Ji, Je, i, on obtient 
X^{Je,i)-t-X,ii,g)-*-X,{g, Je) = 0, 
