14 В. Imchenetsky, 
Mais des conditions (2) il résulte que 
V dxf I dxi дхф ' 
\dxjt) dxh dxh' 
Donc, l'égalité précédente a la forme 
^_«. = fti) = 0. 
Maintenant, en désignant par j un indice non supérieur à n différent de г, ä;, Ь et en 
transposant les variables x^, Xj dans la dernière identité on en déduit, de la même manière 
comme ci-dessus, la suivante 
y"'^J>— dXj dXf,~^' 
Par conséquent: si les fonctions Xj, Z^,. . ., satisfont aux conditions (2) et vérifient 
une seule des conditions de la forme 
axi oxji V ' z 
pour des valeurs particulières des indices к et i, non supérieurs à n, Véxpression différentielle 
Xj dx^ H- Xg cZ^2 • • • -^r» 
est une différentielle exacte d^une certaine fonction ç symétrique en x^, x,^, . . ., que Von 
peut toujours obtenir par la quadrature, en cosidérant la variable t, qui peut être contenue 
dans les X, comme une constante. 
Telles sont les conditions de réduction immédiate à la forme (A) des équations diffé- 
rentielles simétriques de la forme générale (I). 
9. Il peut arriver que les conditions (2) étant satisfaites par les fonctions X, les con- 
ditions d'intégrabilité (21) ne le sont pas, alors il reste encore à faire l'essaie d'obtenir la 
fonction 9, symétrique en x^, x^,. . . x^, en intégrant l'expression différentielle 
Xj dx^ dx^-t- . . . dx^ 
multipliée par un facteur inconnu jx. Soit donc 
[Д. (Xj dx^ -H Xg dx^ -t- . . . H- X„ dx^ = d<p. 
