MÉMOIRE SUE l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 1 3 
3=1 
analogues aux équations (AJ, (A^), (Ag), (AJ. 
8. Nous allons chercher maintenant les conditions nécessaires et suffisantes pour que 
les équations symétriques d'une forme générale 
§ = (г= 1,2, ...,«) (1) 
soient susceptibles de réduction à la forme (A) ou (B). 
La symétrie des équations (1) suppose, d'après sa définition (§ 1), les conditions (2). 
Il est évident que les équations (1) se réduisent à la forme (A) si l'équation 
X.dx^-i-X^dx^-*-. . .-*-X^dx^=^d<^ (20) 
est possible. On a alors 
et le premier membre de l'équation (20) ne variant pas par des transpositions des variables 
»2,. . ., a;^ la fonction 9 en est symétrique. 
L'existence de l'équation (20) entraine les conditions de la forme 
'^-'â = ('^n-) = 0, ^} = l,2,...«, (21) 
dont le nombre est égal a y w (w — 1). Mais, comme on sait, ces conditions, pour w > 3, 
ne sont pas toutes distinctes entre elles et leur nombre se réduit généralement à 2n — 3. 
Nous allons voir que dans le cas présent, en vertu des conditions (2), les conditions 
distinctes de la forme (21) se réduisent à une seule et que les autres en découlent par de 
simples transpositions des variables x^, x^,. . . , x^. Supposons, en effet, que l'indentité (21) 
existe pour quelques valeurs particulières différentes des indices к et i. Elle continuera 
d'avoir lieu après la transposition des variables Xj^ et , h étant différent de к et de г, ce 
qu'avec notre notation on peut exprimer par l'égalité 
