MÉMOIRE SUR l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 
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5. Nous avons transformé les équations différentielles (A) en (А^), en utilisant les for- 
mules connues de la théorie des fonctions symétriques. Mais il serait à désirer de se deba- 
rasser des variables auxiliaires Pi, p^^ - - - , Pni ^^^^ seconds membres des équations 
transformées (AJ, en n'y laissant que s^, s^, . . . , et les dérivées partielles de 9 par rap- 
port à ces variables. Ce qui est possible en effet, moyennant une formule nouvelle, analogue 
a celle de Kaabe que nous allons obtenir maintenant en imitant la démonstration précédente 
de la formule (R). Considérons, à cet effet, comme une fonction de s,, S2,. . . , s^, en y 
mettant les valeurs (S) de ces variables, on obtient 
dXf, dsi dxi dSf^ j 
dsi дхф ' ' ' dSn àxi ' 
dxi dsi _^ _^ dxi 
dsi dx/i ' ' ' dsn дxf^ 
= 0, 
(й=1,2,...,г — 1, in- 1,. . w). 
De là, en multipliant la première équation par a;/~' et la seconde par sc^''~\ par ad- 
dition des résultats on a 
n n 
^ -^A dxh • ' • dSn ^ Л dxh ~ ' 
Mais, d'après (10), 
Ь=\ h=l 
donc on aura 
1 ■.,_,g-b25, g + . . (R') 
une formule analogue à celle de Raabe. 
En la multipliant par ^ et en faisant la somme des résultats pour i=l, 2,. . . м on 
obtient 
|;h-2.,|-h. . .H-«._ ^ (13) 
une formule analogue à (12). 
Au moyen de (13) les équations (A') reçoivent la forme 
t = *[«._*-2.,|^...-.ns,_g (A,) 
(Ä;= 1, 2,. . ., w) qui est évidemment plus simple que (AJ. 
Il ne reste plus qu'à exprimer tous les s^, pour r>w, en fonctions de Sj, Sg,. . . s„ par 
des formules connues. 
Mémoires de l'Acad. Imp. d. se. VII Serie. * 2 
