6 в. Imchenetsky, 
De la dernière formule et les équations (S') on a 
(9) 
(10) ъІ = ^^г'~\ -l^l, 2,...,w. 
4. Application des propriétés des fonctious symétriques au cliangeinent des variables 
dans les équations différentielles symétriques. 
Après avoir obtenu les éxpressions (5) et (8) de dx^^ dx^, . . . , dx^ par dp^, dp^, . . . , dp^ 
ou par c^Sj, (^§2, . . , , ds^ il faut les substituer dans les équations (1) ou (3); mais, pour 
achever leur transformation à des nouvelles variables (P) ou (S), il resterait encore à y 
introduire les valeurs de x^, x^,. . x^ en fonctions explicites àe p^, p^,. . ou de 
Sj, Sg, . . . , s^, ce qui est impossible, dans les cas w> 4, ou, quand %<4, amènerait des 
expressions compliquées des radicaux. Cela nous oblige à nous borner à de telles formes 
d'équations différentielles symétriques, dont la transformation mentionnée s'effectue à l'aide 
de certaines propriétés des fonctions symétriques, sans demander la resolution de l'équation 
f{x) = 0. 
Soit 9 une fonction quelconque des variables t, x^, . . . , x^; en \а, différentiant on a 
-, da> д(а j d(o j да да ^ 
d'S) = ~ аж, H- . . . -Ч- dx. dx^ 
' ot дх^ 1 дх/, à дх/с дхп ^ 
' \ àXiP 
et, en désignant de nouveau par (9), 
dans la fonction cp et ses dérivées, on aura 
en vertu des égalités (4). 
Si l'on suppose maintenant 9 = (9), c. à d. que 9 est une fonction symétrique de 
Жі , a;^ , . . . , , on atira 
d(s^ — (^(9), 
et de là on conclu que, pour tous les indices différents /г, fe, i pris dans la suite 1, 2,. . ., w, 
on a identiquement 
\dx/^) dxii ' \dxji j dx/^ ' \дх{ I дх^' 
Ces égalités étant analogues à (2) on voit que le système d'équations différentielles de la 
forme 
W t = l^. (i=1.2,...,n) 
