MÉMOIRE SUE l'intégration DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 3 
Si, donc, 011 fait toutes les transpositions possibles des variables x^, x.^, . . . , dans 
l'intégrale quelconque ^ = Gonst. des équations symétriques (1), les résultats ainsi obtenus 
seront aussi des intégrales de ces équations. 
Mais au moyen des transpositions successives on peut toujours obtenir toutes les per- 
mutations possibles de n variables ж^, «2, . . ., ж^, dont le nombre iV = 1 .2 . . .n. Si on 
désigne par A^,. . ., Ац toutes les permutations différentes, les valeurs correspondantes 
de la fonction intégrale 9 pourront être exprimées par 
9(^, ^J, ф(^, ф(і, Л). 
Il ne peut y avoir parmi ces N fonctions intégrales qu'un certain nombre [x, non su- 
périeur à w, dont les valeurs sont différentes. Soient 
9 {t, A,\ 9 Ф A),. . ., 9 
la série complète de différentes valeurs que peut prendre la fonction intégrale 9 par toutes 
les transpositions des variables alors par l'effet de ces dernières les mem- 
bres de la série précédente ne feront que s'échanger entre eux. 
Donc, en posant 
Ф (9 (t, A,), 9 {t, Ai^), . . . , 9 (^, A_i)) = Const. 
on a une intégrale des équations symétriques (1) et cette intégrale sera symétrique en 
031,032,..., 0?^, si Ф désigne une fonction symétrique par rapport h(^{t, A^),. . . , (^{t,Ay__^). 
On peut, par conséquent, énoncer la propriété caractéristique des intégrales des 
équations différentielles (1) ou (3), qui vérifient les conditions (2), par la proposition 
suivante: 
Théorème. Chaque intégrales du système d'équations symétriques (1) ou (3) s'ex- 
prime immédiatement par une fonction symétrique àe x^, x^,. . . , x^, ou se réduit à une 
pareille expression par de simples transpositions de ces variables. En d'autres termes, le 
système complet d'intégrales d'équations différentielles symétriques (1) et (3) est toujours 
exprimable par des fonctions symétriques de «j, . . . , ж^. 
Changement des variables propre à fournir les intégrales symétriques des équations 
différentielles symétriques. 
3. Les intégrales symétriques des équations différentielles symétriques (1) ou (3) 
peuvent être obtenues en introduisant des nouvelles variables s'exprimant par des fonctions 
symétriques en. x^, x^, . . . , x^; свх chaque intégrale des équations transformées s'exprimera 
alors en fonctions symétriques des variables primitives. 
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