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В. Imchenetsky, 
La propriété, qu'on vient de décrire, des systèmes (l)ou(3), vérifiant les conditions (2), 
suffit, il nous semble, pour les désigner sous le nom d'équations différentielles symétriques; 
le choix de cette dénomination sera justifié encore d'avantage par le rôle important qu'ont 
dans la théorie de leurs intégrations les propriétés des fonctions symétriques, comme nous 
nous proposons de le démontrer dans ce qui suit. 
Propriété caractéristique des intégrales des équations symétriques. 
2. Si 
{t, X,,. . x^,. . x^,. . .xJ = Gonst. 
est une intégrale des équations symétriques (1), la fonction ф satisfait identiquement à l'é- 
quation aux dérivées partielles 
ïT — -^1 ~+~ ... -I- 3 — Л.. -+- . . . -I- 3 — Л.,, -+- . . . H — 5 — A„ = U. 
ot dXi 1 ox/i n dxji « dxn n 
En faisant la remarque que la dernière identité ne cesse d'éxister quand on y fait la 
transposition des variables quelconques et Xj^ , on aura 
(l)-fê)№)-----(â)W-----(lï)W----*-fê;)W = o, - 
si l'on continue, comme si-dessus, de mettre entre parenthèses les fonctions où on suppose 
la transposition des lettres et Xj^. D'après cette convention (ф) représentera la fonction 
intégrale cp après la même transposition et nous aurons 
ôt ~ 
'\dtp dxh 
dxk 
(4)' 
et généralement 
(4) 
h, k, г étant des indices différents non supérieurs à n. 
A cause de ces dernières égalités et des conditions (2) l'indentité précédente peut se 
mettre sous la forme 
et elle montre, que 
(ф) = Const. 
est une intégrale des équations symétriques (1). 
