Définition des équations différentielles symétriques. 
1 . Considérons un système d'équations différentielles de la forme 
§ = X„ (г^І, 2,...,n) (1) 
où des fonctions données des % -ч- 1 variables x^, . . . , sont soumises aux conditions 
suivantes. Soient i des indices différents pris dans la suite des nombres 1, 2,. . w; 
(Хд), (Xf), (X.) désignent, pour abréger, ce que deviennent respectivement X^, X^,, X^ 
quand on y échange entre elles les lettres et X/^. 
Cela posé, supposons que les égalités 
(X,) = X„ (X,) = X„ (X,) = X, (2) 
soient vérifiées, pour toutes les valeurs différentes des indices /г, к, i non supérieurs à n. Il 
est facile de voir qu'en vertu des conditions (2) le système d'équations (1) reste toujours le 
même, quand on y fait une transposition de deux variables x^, x^,. . x^ quelconques. 
En effet, par la transposition des variables et x^, par éxemple, les équations 
s'échangent l'une contre l'autre, les autres équations du système (1) n'éprouvant aucun 
changement, en vertu des conditions (2). 
Si la variable t n'entre pas dans les fonctions X^, vérifiant les conditions (2), le sy- 
stème 
dxi dx^ dxn /Q\ 
x[~X ' 
aura la même propriété que le système (1), par rapport aux transpositions de toutes les 
variables. 
Mémoires de l'Acad. Imp. d. se. VII Série. 1 
