G. Marleita 
[Memoria IL] 
§ I- 
1. — L' ipotesi pei- la quale della supertìcie focale del complesso T (d' ordine uno) 
faccia parte una curva, fu studiata in Mar. cap. IV. 
Supponiamo ora, primieramente, che la superficie focale cp di F sia irriducibile, onde 
essa sarà incf)ntrata in due punti da ogni raggio di P. Di questi due punti uno sarà da 
considerare come due lochi. Lii superfìcie è certntìiente una rigata cubica normale. 
Sia infatti p la rigata delle rette di F poste in uno spazio generico e indichiamone 
con // il grado e con k la multiplicità nella curva llcp. Osserviamo che sopra un raggio ge- 
nerico di r non esiste alcun foco fuori di cp, onde la rigata p è tale che un piano condotto 
per una generatrice generica g di essa, seca ulteriormente questa medesima lungo una curva 
d' ordine // — / dotata di due punti (k—1) — pli nei due punti g'-^. Inoltre questa curva ha 
con g in comune soltanto il punto di contatto del piano considerato con p ; quindi avrem.o 
;/ — 1—2 [k — 1)^1, cioè iì=2k\ Ne segue che per un punto qualunque .P di g, o non passa 
alcun' altra corda di Scp , onde questa è una cubica gobba, ovvero nelT ipotesi contraria, 
ciascuna delle altre corde della curva S'x- uscenti da P, incontrando p in 2k^l=n-]-l punti, 
deve appartenere a questa rigata, la quale non potrebbe essere che una quadrica. Ma in 
tal caso se g^ è un' altra retta generica di F (non posta in S) , sulla rigata quadrica p , 
delle rette di questo appartenenti allo spazio , dovrebbe giacere una determinata retta 
direttrice di p ('), la quale essendo incidente a g , incontrerebbe pure gi. Onde tutte le 
rette del complesso si appoggerebbero a p , e ciò è assurdo. Dunque la superficie cp è 
necessariamente una rigata cubica normale , e le rette del complesso poste nel piano di 
una qualunque conica di essa, formano un fascio il cui centro appartiene a questa conica ("). 
Viceversa è chiaro che se mediante qualche procedimento geometrico , sopra ogni 
conica c generica di una rigata cubica normale 'f, rimane individuato un punto P, le rette 
passanti per questo punto e poste nel piano di c , generano al variare della conica di cp 
un complesso d' ordine uno , tale che sopra una sua retta qualunque , due dei tre fochi 
coincidono. 
Una conica e un punto come c e P saranno detti associati. 
'1. Per un punto qualunque P di cp , passino v coniche di questa a P associate ; dun- 
que le rette del complesso uscenti da P e aventi due fochi in questo punto, formano v 
fasci. Ma per P passeranno altre co^ rette di F, ciascuna delle quali ha i due fochi coin- 
cidenti posti in un punto distinto da P. 
Fissata una conica generica c di 9, le coniche di questa aventi in c i punti asso- 
ciati, son tali che per un punto qualunque P di cp ne passano '•'-]- 1. E siccome, in gene- 
rale, r unica conica degenere di cp passante per P, ha il punto associato fuori della diret- 
trice rettilinea di cp, cosi concludiamo (p. es. pensando alla rappresentazione piana di que- 
sta superficie) che il luogo dei fochi doppi delle 00 ^ rette di F uscenti da P, è una curva 
d' ordine 2(v-j-l) avente il punto P come v-plo. Ne segue che le rette di F aventi in P 
il foco semplice, formano un cono d' ordine v-]-2. 
Concludendo possiamo dire che tutte le co^ rette del complesso uscenti da P, forma- 
no un cono (riducibile) d' ordine k=2'^-\-2. 
I Perchè avrebbe con pj più di due punti comuni. 
(■-') Ciò, del resto, d' accordo con quanto si disse in Mar. n" 39. 
