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G. Marletta 
[Memoria II. [ 
4. — Supponiamo ora che la superfìcie focale del complesso F si spezzi in due su- 
perlìcie irriducibili (p e cfi ; ìina di queste sarà certamente un piano. 
Sia, infatti, p la rigata delle rette di r poste in uno spazio generico 11, ed n, k e 
ki siano rispettivamente il grado di p e le multiplicità delle curve Scp e Scp^ per questa 
rigata. Siccome in un raggio generico del complesso , non esiste alcun foco fuori di 9 e 
'fi , un piano to di S condotto per una generatrice generica g di p, secherà ulteriormente 
questa in una cuiva d'ordine // — 1 coi punti ^f Q g^^ rispettivamente {k — 1) — pio 
e (/t'i — 1) — pio. Inoltre la detta curva incontrerà g soltanto nel punto di contatto del piano 
(0 con p. Avremo dunque 
« — I = — I ) + (/.■ 1 — I ) -h I , cioc « = /f + /,',. 
Ne segue che per un punto qualunque P di ^, 0 non passa alcun' altra retta incidente 
le curve Hcp e Scp; , f)nde una di queste è certamente una retta , per quanto è noto circa 
le congruenze d'ordine nuo ; ovvero, nell' ipotesi contraria, ciascuna delle altre rette siffatte 
uscenti da P, incontrando p in k -\~ k ^-\-\ = n \ punti, dovrebbe appartenere a questa 
rigata, la quale sarebbe quindi una quadrica. Ma in tal caso se g\ è un'altra retta generi- 
ca di r (non posta in S), sulla rigata quadrica pi delle rette di questo appartenenti allo spazio 
gg^, dovrebbe giacere una determinata retta direttrice di p ; la quale incontrando^, dovrebbe 
pure incontrare ^1. Onde tutte le rette del complesso si appoggerebbero a p , e ciò è as- 
surde;. Concludiamo che una delle due curve ^cp e Ufi è certamente una retta, e quindi 
una delle superfìcie f e cpj è un piano ('). 
.Se, p. es., f è un piano, allora in uno spazio generico 11 passante per essa, le rette 
di r generano una congruenza d' ordine uno , avente 0 due linee singolari , una in cp e 
una in fi , ovvero una sola linea singolare che sarà una retta , sulla quale ogni raggio 
della congruenza avrà i due fochi ccjincidenti. Questa retta dovrà appartenere a f j ; f ipo- 
tesi , poi , che sopi-a un raggio qualunque di F i tre fochi coincidano in un sol punto , 
verrà studiata nel seguente. 
— Consideriamo la prima ipotesi , e precisamente supp(;niamo che la congi'uenza- 
delie rette di F appartenenti allo spazio ^ , abbia due linee singolari distinte , delle quali 
la rettilinea appartenga a fi. 
Allora ogni spazio - passante per f , seca tp^ in una (sola) retta, onde questa super- 
lìcie sarà una rigata razionale. In f avremo una curva d'ordine \y con un punto — 1) 
— pio posto su questa retta di o ^. Questa curva e la generatrice di fi ora detta, saranno 
le direttrici della congruenza formata dalle rette di F poste in 2. Le curve di f siffatte 
foimeianno un inviluppo razionale y di classe /, e saranno in una certa corrispondenza 
(1,/) con le generatrici della rigata fi. 
Se le curve di 7 hanno il punto ([i — 1) — pio costantemente in un cei to punto iì/, al- 
lora f, è un cono di vertice M con ni generatrici nel piano f, se ni\ è l'ordine di coi. 
Per un punto generico P di <p passano j curve di "(, a ciascuna delle quali corrispon- 
dono / generatrici di fi ; si hanno cosi / / generatrici di fi le quali proiettate da P dànno 
altrettanti fasci di raggi di r , i quali sono formati da tutte le rette di questo complesso 
uscenti da P e poste fuori di 9: Inoltre osserviamo che se co è un piano generico posto 
in uno stesso spazio con f, allora in esso giacciono [). rette di F, incidenti la generatrice 
Tutto ciò d'accordo con quanto si disse in Afar. n" 72, 
