8 
G. Mnrlettn 
[Memoria II. | 
Ciascuna delle rette rappresentate dal punto fondamentale /, e dalle rette X^^g, X'^^, V-^^ 
individua, insieme col raggio di 7 ad essa incidente, un piano parassita semplice per V. 
La cubica piana di cp^ posta in uno stesso spazio con tp, giace in un piano che ha per 
traccia in cp la retta FN, e che è parassita triplo per il complesso. Ciò d'accordo con l'e- 
guaglianza : 4.1^^ 3^ = I3 = x. 
13. — Consideriamo ora 1' ipotesi (n. 4) che uno spazio qualunque 2 passante per il 
piano <p , sechi ulteriormente cp; lungo una (sola) retta che sia unica linea singolare per la 
congruenza delle rette di F poste in II. La superfìcie cp, è dunque una rigata razionale. 
Fissata una retta di 9, e su r un punto P, in ogni spazio S avremo una sola retta 
del complesso uscente da P, retta che si appoggia in un certo punto Q alla generatrice 
di cp^ posta in S e fuori di 'f. Al variare di II intorno a cp, il punto Q descrive una curva 
razionale p, la quale alla sua volta descrive un certo inviluppo razionale 7 al variare di P 
su r. Indicheremo con / l'indice di 7. 
Fra le curve di "f e i punti di r passa una certa corrispondenza (/, E chiaro, poi, 
che in uno spazio 1! passante per cp , le rette di F formeranno una congruenza di classe 
Viceversa, fissato in ^1 un inviluppo razionale "f d' indice J di curve unìsecanti le ge- 
neratrici di 'fi medesima, e stabilita una corrispondenza (/, /) fra le curve di 7 e i punti 
di una retta /' di 'f, rimane individuato un complesso r d' ordine iiiw , tale che in ogni 
suo raggio due fochi coincidono in un punto di ©i. Infatti uno spazio il passante per cp, 
seca ulteriormente cp^ in una generatrice g\ per un punto qualunque Q di questa retta pas- 
sano J curve di if, a ciascuna delle quali coi'rispondono / punti di r. Si hanno cosi Jl 
punti di r che proiettati da g dànno altrettanti piani che assumeremo come corrispondenti 
di Q. Le rette di X che appartengono simultaneamente ad un punto di g e agii // piani 
omologhi nella coirispondenza (J,j7) che in tal modo rimane stabilita fra i punti e i piani 
di g, sono rette di una congruenza d'ordine /ino e di classe l\-=^jl , avente ^jg- per unica 
linea singolare. 
14. — Supponiamo, p. es., che la rigata cp^ sia un cono d' ordine in\ con 111^ — / ge- 
neratrici nel piano cp. Allora nelle considerazioni fatte (n. 13), ai punti della retta pos- 
siamo sostituire i raggi del fascio {M, cp), chiamando M il vertice di cpi. 
Le rette di F uscenti da un punto qualunque di cp foi'mino un cono d' ordine v ; al- 
lora se A è uno spazio generico, e se diciamo p la rigata delle rette di F poste in A , 
possiamo dire che esistono per ogni punto della retta Acp, v generatrici di p uscenti da 
esso. Inoltre osserviamo che le rette del complesso poste nello spazio determinato da cp e 
dal piano tangente a cpi lungo una g delle m\ — / generatrici che questo cono ha in cp, 
formano una congruenza d' ordme uno e classe ì\ , spezzata in una stella col centro in 
e nel piano rigato cp contato h volte. Dunque — l)h generatrici della rigata p, coin- 
cidono tutte con la retta Acp. Ne segue, siccome un piano qualunque passante per questa 
retta contiene h rette di F, che p è di grado 
;; = [v-f (wj -z)/,] -f /^ = v+m, /i. 
In uno spazio S condotto genericamente per cp, le rette di F incidenti una retta ge- 
nerica, formano una rigata di grado onde per una ipersuperficie Fu, tp ha la mul- 
tiplicità 
/; = (n + I) — (/^ -4- I) =v + /i - /i 
