Sopra i complessi di rette d' ordine uno dell' S^ 
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Le ulteriori intersezioni di ^ con Vt e Fr.', sono due rii^ate (entrambe di grado l ^-]-\) 
le quali hanno gli stessi piani tangenti in ogni punto della comune direttrice — pia. Se, 
poi, in particolare è lo spazio individuato da e dal piano tangente a cp, lungo una 
delle lìi^ — 1 generatrici che essa ha in cp , 1" ipersupertìcie T'ii, per es. , è secata ulterior- 
mente da 2S in una rigata composta dal fascio {A, o) contato /, — vulte, posto A=-^~ , e 
da un altro fascio il cui piano passa per la retta -~. 
Da quanto abbiamo detto deduciamo ; 
A- = (v -f- m, l^y- - (V + /, — l^y. 1 — {ui, — I) /,-■ - (/,- -i- /j) m, =: (2v - )//,) /, 
15. — Supponiamo, p. es. , che le curve dell'inviluppo '{ siano secate sul cono cpj , 
dalle ipersuperlicie d' ordine \i di un fascio , tutte aventi nel vertice M di cpi un punto 
(li— 1) — plo \ e che queste ipersupertìcie siano rifeiite omogralìcamente alle rette del fa- 
scio (i/, cp). 
Si ha: j^l-^l , e quindi /j— ~/ e v=[).///j. 
Dunque (n" 14) avremo : x=2\un^ — tm. 
La superficie d'ordine [j-^ con M 1)- — pio, base del fascio, seca il cono cfi in 
— /)^///i=^lJ-Wi — lìiy punti distinti da il/, per ciascuno dei quali passa una gene- 
ratrice di cpi posta interamente sopra una determinata ipersuperficie del fascio. Per ciascu- 
na di queste generatrici passa un piano parassita semplice per il complesso F. Ciò d' ac- 
cordo col valore di .v poco sopra trovato 
16. — Sia ora cpi una rigata d'ordine m^, avente in o una curva razionale C d'or- 
dine m\ — / come direttrice semplice. 
Fissata una retta r del piano cp, si stabilisca una corrispondenza (/, /) fra le curve 
di un inviluppo 7 d'indice / di cp, e i punti di ; queste curve, inoltre, incontrino in un 
sol punto le generatrici di o^. Allora, posto h=jl, uno spazio generico S passante per cp, 
seca cpi ulteriormente in una generatrice g i cui punti sono in corrispondenza (/, l ^) coi 
punti di r, e quindi coi piani di - passanti per g. Le rette che appartengono simultanea- 
mente ad un punto di ^ e ad uno degli li piani a questo corrispondenti , formano una 
congruenza che, al variare di ^, genera un complesso F d' ordine uno, tale che su ogni 
suo raggio due fochi sono in uno stesso punto di cpi. 
Ripetendo qui considerazioni analoghe a quelle fatte nel n" 14, ed osservando che per 
ipotesi la rigata cp^ non ha alcuna generatrice in cp, si ha : 
X rrr (2v ~ w,; + (m, - ;) /,-. 
Al medesimo risultato possiamo venire ragionando nel seguente modo. 
Se le curve di '{ hanno a punti fissi (necessariamente semplici) , due qualunque di 
esse si secano in 
v^— (v — If — a — {m^ — l)=:2'^ — nn — Q punti variabili. Ne segue che in 7 esisteranno (''). 
(*) Se le ipersuperficie del fascio e le rette del fascio <ù) sono in corrispondenza (i, /) , si ha / n 
/j— / e x—(2\ì.m^ — '"i)'; d'accordo ciò col fatto clie ad ognuna di quelle 2\>-iii^ — ;;/, generatrici, corrispon- 
dono / rette di (M, 'f). 
('■') Circa il numero delle curve di un sistema algebrico irriducibile co ^ dotate di punto doppio, sistema 
esistente sopra una superficie qualunque, vedi un teorema di Severi dimostrato da R. Tokelli nella Nota : 
« Sui sistemi aìoehrici di curve apparleneitti ad una superficie algebrica <■ . Atti della R. Acc. delle Scienze di 
Torino, voi. XLII (1906). Nel nostro caso, volendo, potevamo servirci soltanto della rappresentazione piana 
di (p,. 
Atti Acc, Serie V, Vol. III. Mem. II. 2 
