Sopra i complessi di rette d'ordine uno delV S^ 
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20. — Sia / una curva d' ordine |J->>/ posta in un piano r. {^^). Allora in ogni spazio 
passante per ~, le rette del complesso F f(jrmeranno una congruenza d' ordine itìio, tale 
che su ogni raggio i due lochi coincidono ; dunque questa congruenza sarà una stella col 
centro in /, visto che / per ipotesi non è una retta. Ne segue che fra i punti di questa 
curva e gli spazi passanti per ~, esiste una corrispondenza (7, /) ; onde / è razionale. 
\'iceversa è chiaro che dando una siffatta corrispondenza, le rette che simultaneamen- 
te appartengono ad un punto di / e ad uno degli / spazi a questo corrispondenti , gene- 
rano un complesso d'ordine iiìio , tale che su ogni suo raggio i tre fochi coincidono in 
un punto della curva /. 
Le rette di V uscenti da un punto generico di /, formano / stelle (ordinarie); dunque 
se P è uno dei jn punti in cui uno spazio generico seca la curva/, in questo spazio avre- 
mo / fasci di raggi di F tutti col centri.» in P. Ne segue che il complesso è di classe 
// — jj./. 
Una retta r di ~ incontra / in ]jl punti ; a ciascuno di questi corrispondono / spazi 
passanti per x, in ognuno dei quali r è raggio della congruenza (stellare) che le rette di 
r ivi formano. Dunque r è da contare \>.l volte come retta del complesso ; cioè tt è da ri- 
tenere come piano parassita [il — pio. Che, poi, non esistono piani pai'assiti divei'si da ~, è 
evidente. 
'li. — Supponiamo ora che il luogo dei fochi (tripli) dei raggi di F, sia una superfìcie 
cp. Questa deve essere ìiecessariaiiieiite un piano. 
Osserviamo, infatti, che sopra un raggio generico di r non esiste alcun foco fuori di 
cp, onde indicando al solito con // il grado della rigata p delle rette del complesso poste in 
uno spazio qualunque e con k la multiplicità di questa nella curva --f, p è tale che un 
piano' condotto per una generatrice generica g di essa, la seca ulteriormente in una curva 
d' ordine n — 1 dotata di un punto (/e—/) — pio nel punt(j g'^ ; dunque sarà: {k — D-A^-l^u — l, 
cioè k — n — 1. Ne segue, primieramente, che la curva -9 è certamente piana. Intatti se 
fosse gobba, le corde di essa uscenti da un punto qualunque di g, apparterrebbero a p, la 
quale dovrebbe essere una quadrica, e ciò si esclude con un ragionamento analogo a quelli 
fatti nei n.' 1 e 4. Dunque o è una supertìcie dello spazio ordinario; anzi è precisamente 
un piano, perchè nel!' ipotesi contraria, sopra ogni raggio di Y posto nello spazio di cp, esi- 
sterebbe almeno un punto diverso del foco triplo, e foco anch' esso, e ciò è assurdo. 
— Sia -o un piano, e r un complesso d'ordine uno, tale che su ogni suo raggio 
i tre fochi vengano a coincidere in un punto di esso. 
In uno spazio genericamente condotto per tf>, le rette di F non potendo formare una 
stella (perche in tal caso il luogo del foco triplo di una retta generica di F sarebbe una 
curva di '.f), formeranno una congruenza dotata di una retta come unica linea singolare. 
Dunque in cp abbiamo un inviluppo (razionale) 7 di classe /, le cui rette sono in corrispon- 
denza (/, /) cogli spazi II passanti per cp. Inoltre osserviamo che le rette di F poste in 
uno spazio il, le quali quindi si appoggiano alla retta 5 di 7 omologa di queste, son tal 
che quelle uscenti da uno stesso punto (di 5), formano un certo numero l\ di fasci in f^ìo.- 
('^) Le considerazioni che seguono valgono pure per ;)-=J , e - tale che oltre di passare per / , in uno 
spazio generico passante per esso, le rette di F formino una stella col centro in /". È facile però vedere, che 
il complesso cosi ottenuto non differisce da quello del n. 19, supponendo che il cono d'ordine / corrispon- 
dente ad un punto generico di /, degeneri negli / spazi di un gruppo di una i_>''^ assegnata nel fascio (~), e 
coi suoi gruppi in corrispondenza biunivoca coi punti di /. 
