ìfleiiioria IT. 
M. DE FRANCHIS 
Sulle varietà algebriche ad n dimensioni trasformabili razionalmente 
in varietà ^ p<n dimensioni, aventi il genere - dimensionale 
maggiore di p. 
1. In una mia Nota del lyOó, (*) rilevai come i' esistenza, sopra una superficie alge- 
brica (e, si può anche dire, più in generale, sopra una varietà algebrica ad > 1 dimen- 
sioni), di due integrali di differenziali totali di prima specie linearmente indipendenti, ma 
funzioni V uno dell' altro, tragga seco 1' esistenza, sulla superficie (o su quella varietcà) , di 
un fascio irrazionale, almeno .di genere due, di curve (o di varietà ad — 1 dimensioni); 
di questa proprietà mi ero anzi implicitamente servito in una precedente Nota riguardante 
i piani doppi, (**) 
In sostanza, il teorema dimostrato in quella Nota può mettersi sotto questa forma ge- 
nerale : 
Se una varietà algebrica ad n > 1 dimensioni possiede due integrali di dif- 
ferenziali totali linearmente indipendenti, ma V uno fiiUBione dell altro, allora è 
trasformabile rasionalmente (in un sol senso, s' intende) in una curva algebrica sulla 
quale a quei due integrali corrispondano due integrali abeliani. 
Tale risultato è estensibile : 
Se una varietà cdgebrica \',„ ad n >- p dimensioni, possiede p -j- 1 integrali 
p — dimensionali tali che i rapporti dei differenziali che entrano in p di essi, 
rispetto al differenziale dell' integrale rimanente, siano funzioni finite indipendenti, 
allora la \ pub farsi in corrispondenza semplicemente razionale con una varietà 
algebrica a p dimensioni , sulla quale ai p -)- 1 dati integrali di V„ corrispondono 
p -]- 1 integrali p — pli {di funzioni razionali). 
C) Sulle supei-jicie ulgebrkht; le quali coHtengoiw un fascio irrazionale di curve (Rend. del Circolo Mate- 
matico di Palermo, t. XX, 1905 pp. 49-54). Vedasi anche Castelnuovo : Sulle superficie aventi il (genere 
aritmetico negativo (Ibid. pp. 55-60), Enriques: Sulle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo 
di trasforma\ioni hira-{ionali in sé stesse (Ibidem, pp. 61-72). 
(**) / piani doppi dotati di due 0 pili differeniiali totali di prima .s/w/V (Rend. delia R. Acc. dei Lincei/ t. 
XlIIr,, r» sem. 1904). , 
Atti Acc, Sekie V, Vol. III. Mem. IV. 
