M. De Frnnchis 
[Memoria IV.] 
Sia F (\\, Xì, Xn+i) = O r equazione della V,„ supposta (come è lecito) immersa 
in un Sn+i (-Vi, -V-i, -x„-|-]), e sidiio : 
A = S a, 
dX, (ÌX; llx 
\ p -\- ì elementi ditì'erenziali dati, ove le f>i, f-i, [>,, e le Uj^ denotano funzioni 
razionali di .vi , xz,..., x^+i ed i\ /]>.-. denota una combinazione di p tra i numeri 
1, !!,.••) E da notare però che l'ordine nel quale si seguono i\ , i>,..-, i,, non è indif- 
ferente: uno scambio di due di questi indici produce un cangiamento di segno nel differen- 
ziale dxi^ dxi.,... dxi/. ; conviene adunque per definizione, cambiare anche il segno alla corri- 
spondente funzione coefficiente ai^ /.,... quando vi si scambino due indici (*). I sistemi di 
funzioni ai\ /.,... e [j, a^^ soddisfano alle condizioni d' integrabilità rf/ Poincaré. (**) 
Si ha dunque su V„, cioè tenendo presente la relazione F (.r, ^xi,...^ Xn^\) = O, 
+ (- IK 
Beli 
qualunque siano gl'indici /i , , .., //„ ip+i (distinti) scelti tra i numeri 1, L',.--, 'i- Queste 
relazioni devono essere pure veritìcate ponendo, in luogo delle «, le a moltiplicate per una 
qualunque delle funzioni p, , p-j,..., {■>,,. Se ne deducono, per tutti i valori interi di 5 compresi 
tra 1 e /). le uguaglianze (valide su V„) 
+ (-1)" "i 
c'p.,. 
■ih- •>+! 'i 
5r. + 
■2 cU-,. 
La matrice 
H-.... + (~l)"^/i,3..^- 
dX; 
0. 
3pi_ ^ 
dxi dx2 
3h> 
-Vi 
dXn 
dXn 
ha la carattestitica p, perchè le p sono, per ipotesi, indipendenti. Le ultime relazioni 
(') "Vedasi p. e. Picard et Simart: Tbèorie des foncUons algébriques de deux vuriahles iiidépendantes, t. I 
Chap. I. 
1^""') Vedasi, per le citazioni relative, il predetto trattato di Picard e Simart ovvero la mia Nota Sulla 
riduiione degl' inie^raìi estesi a varietà. (Rend. del Circ. Mat. di Palermo, t. XII, 1898). 
