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scritte mostrano dunque che le funzioni /^__ sono eguali ad una stessa funzio- 
3 (pi, p2, . . . , ^'p ) 
ne razionale moltiplicata per gì' lacobiani • Se ne deduce che il differen- 
^ ^-^i^-^i:,,...,-^' P+l) 
ziale (/p, dp2 ... (i[J/, coincide, a meno di fattori finiti, razionali in .v, , x^,..., x,, , x,,^^ 
con gii elementi differenziali A, pj A,..., p,, \. Sarà dunque 
^ = 'V dm ./p.. . ./p„ 
essendo una funzione razionale. 
Prendiamo oi'a, come nuove variabili indipendenti, p, , {j-s p^, , oltre ad altre variabili 
^, in guisa da sostituire alla vartetà V" una varietà V'„ ad essa birazionalmente identica 
(immersa in un conveniente spazio). Teniamo piesente che l'espressione d^j^ d^->... d{j,,h 
integrabile su V' „ , nel senso di Poincaré ; se ne deduce subito che su V „ la 'F è funzione 
(eerto algebrica) delle sole p. Su V,, si ha dunque una relazione algebrica 
g pi, M = o. 
Ouesta equazione individua nelh^ spazio (T , pj , p2 p/,), a /> -|- 1 dimensioni, una 
varietà a p dimensioni in corrispondenza razionale con f ', , possedente i /> > 1 in- 
tegrali p - pli:\^p^ ^F r/p, '/p,... rfp/„ / ,^) p, 1'" (/p, '/p,..- 4vv, j(/,) fV '/p, '/p,- '/p/., 
trasformati dei dati integrali a p dimensioni di \\,. E con ciò, il teorema è dimostrato. 
1!. Nel caso che gl'integrali dei quali si parla siano di prima specie, se ne deduce il 
teoreina : 
Se una varietà algebrica V,, , ad n >- p di iiieiisioiii, possiede p l (alìiieno) 
integrali p — dimensionali di prima specie tali die i rapporti fra gli elementi dif- 
ferensiali di p di essi al rimanente siano funzioni finite indipendenti, la V„ è in 
corrispondenza razionale con una V,, , a p dimensioni, di genere p — dimensionale 
maggiore di p (eguale anzi ed numero di qnegl" integrali). 
Il sistema canonico della sudetta varietà V,, risulta anzi, sotto le suddette condizioni, ncjn 
composto nè con un fascio di varietà a p — 1 dimensioni nè con un sistema, d' indice 1 , 
di varietà di dimensione minore (ma maggiore di zero). 
Sotto questa restrizione, le sopradette condizioni sono evidentemente oltre che sufficienti 
necessarie, perchè la V„ sia in corrispondenza razionale con la V,, , di genere maggioi'e 
di />, cioè perchè la possegga una schiera ':x)'', di genere maggiore di p e di indice 1 , 
di varietà ad // — p dimensioni. 
Catanici, Novembre 1909. 
