Memoria, X¥. 
Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali 
Nota di CARLO SEVERINI 
In questa Nota riassumo brevemente alcune ricerche intorno agli sviluppi in serie di 
funzioni ortogonali, di cui mi propongo di occuparmi in un prossimo lavoro. Mi limito per 
semplicità alle funzioni di una sola variabile, indicando per queste i pi-incipali risultati, 
a cui sono giunto. 
1. Sia: 
(1) V, (X) 1, 2, . . . . , "^o) 
una successione infinita di funzioni della variabile reale x, definite in un intervallo Unito 
(a, b), sommabili insieme ai loro quadrati, e tali che si abbia : 
rb j 0 se -\- n 
\ P ix) V,,, (X) V„ (X) dx r--z 
J ( 1 se /// = ;/ , 
a 
ove p (x) è una funzione determinata per ciascuna successione (1), misurabile, limitata ed 
avente un limite inferiore maggiore di zero. 
Detta f{x) una funzione sommabile insieme al suo quadrato nell'intervallo {a, b), (*) 
e posto : 
A^^^ piv)f{x) V,,{x) dx {k= 1,2, . . . . , cxd), 
a 
Sn{^) = ^h A,. V„ {x) («=1,2, .... , oo), 
1 
si ha : 
■h 
P(x) [f(x)\'d.x 
J 
a 
A,r / P U') [f{x) - S„ {X) r dx 
(*) Le considerazioni clie seguono si estendono immediatamente al caso che le lunzioni date siano de- 
finite soltanto nei punti di un insieme misurabile, contenuto in (a, b). 
Atti Acc, Serie V, Vol. III. Mem. XI. i 
