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Carlo Severini 
[Memoria XI.] 
donde segue che la serie: 
(2) Zk- 
è convergente. 
2. Dalla convergenza della (2), poiché : 
p (a-) [S„, (x) — Sn (x) ]- ^.v = Zh A,:' (m > n), 
n+l 
risulta : 
lim / p (x) [S,„ {x) — S„ (x) ]2 (^x = 0 
m, ìi—oo 
Se ne deduce facilmente (*) l'esistenza di una funzione sommabile insieme al 
suo quadrato e soddisfacente alle condizioni : 
r 
(3) lim / p (^v) [ fi ix) - S„ (x) f dx = 0 , 
da cui si trae 
1'"^ P (^v) [fi (x) - S„ (xj ] dx = 0 , 
n == co 
p (x)f, (x) V\ ix) dx (k=ì,2, 
3. A causa della (3) si può, fìssati due numeri positivi, qualsivogliano, a ed e, deter- 
minare una successione di numeri interi, positivi : 
y/j , ^2 , > , 
tale che, per ogni /, la misura dell' insieme dei punti, ove 
I /i ix) - S„ . (X) I ^ 4_ 
(*) Cfr. E. Fischer : Sur la convergence en moyenne [Comptes rcndus des séances de l' Académie des 
Sciences (Paris), tome CXLIV ( i'^'' semestre 1907). pp. 1022-1224. 
