Sopra gli inviluppi in serie di funsioni ortogonali 
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risulti minore od uguale a , cioè si abbia : 
m)^E[ |/iCr)-S„, (x) | ^ ^ ] j ^ (/ = 1, 2, . . . . , c^). 
Risulta, allora in tutti i punti di («, b), fatta al più eccezione per quelli di un insieme 
di misura nulla : 
/■ {x) = lim S„. {x) 
i=oc 
ossia : 
(4) /, (X) =r S,,^ (x) 4- J, [ S,,.^, {x) - S,. {X) ] ; 
ed esclusi i punti di un insieme, la cui misura è minore di una quantità positiva x, che 
può essere scelta ad arbitrio, la precedente serie (4) converge in egual grado alla fi (x). 
4. Ammettiamo ora che la serie 
(5) 2:k a, w (x) , 
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sia convergente nei punti di {a, b), (*) e però convergente in egual grado, quando si esclu- 
dano i punti di un insieme, la cui misura è mmore di una quantità positiva x , arbitraria- 
mente scelta. Si può infatti determinare una successione crescente di numeri interi, po- 
sitivi : 
//^ , //2 , , W( , 
tale che, detto l' insieme dei punti, in cui qualche resto della (5) a partire dall' n'P° , 
non è in valore assoluto minore di ~ , si abbia : 
;// ( H,,^ ) ^ ^ (^■= 1, 2, , CX3) ; 
ed allora, assegnato un valore /' dell'indice /, in modo da avere: 
a 
i ' L'ipotesi che la (5) converga si può sostituire coU'altra che sia in ogni punto di (a. ?0' determinata : 
segue infatti dalla (4) che deve allora essere convergente, fatta al più eccezione per i punti di un insieme 
di misura nulla. 
(**) Cfr. H. Lebesgue : Sur une proprièté des foncttons [Comptes rendus des seances de l'Académie des 
Sciences (Parisi, tome CXXXVII (2'"<' semestre, 1903), pp. 1228-1230] — Lefous sur les séries trigonométriques 
[Paris, Gauthier - Villars (1906)]. 
)f{x) V,Ax)dx 
