4 Carlo Severini [Memoria XI.] 
e posto : 
ove in generale con H'„.,_^^^ s'indica l'insieme dei punti di H„.,^^^, che non appartengono 
a nessuno degl' insiemi : 
Hn,,j (7 = 0, 1,2,..., /^-l) , 
è ben chiaro che per tutti i punti dell' insieme C'^^ complementare di H^. , la cui 
misura differisce da b — a per meno di t, la {b) converge in egual grado : preso un nu- 
mero g positivo, arbitrariamente piccolo, se /" è un valore dell'indice /, abbastanza grande 
perchè siano soddisfatte le condizioni : 
risulta, per ogni )i ^ ìi,n : 
I 1,,- A, V, (x) j ^ ^, 
fatta eccezione per i punti di H,,.,, , che è contenuto in H,' _ 
Dal risultato del § prec, segue ora, nell'ipotesi che la (5) converga: 
fi (x) = J",, A„ V, (x) , 
1 
fatta al piìi eccezione per i punti di un insieme di misura nulla. 
Inoltre, essendo F un insieme misurabile qualsivoglia, contenuto in («, b), si ha : 
fi (X) dx = a,, l\ (x) dx , 
e poiché (§ 2) : 
risulta in fine 
/, (.V) dx = Z,. A^ / (X) dx 
A, Vu (x) dx = ^, A, / P\ {X) dx , 
r r 
cioè la serie (5) è completamente integrabile per sene. (*) 
Riassumendo possiamo dunque enunciare il seguente teorema : 
La funsione f (x) e le: 
(1) V, (x) {k=l,2,...., ^) 
C) Cfr. G. Vitali : SuW inlegraxione per serie [Rendiconti del Circolo Matematico (Palermo) Tomo XXIII 
(i» semestre, 1907), p. i?7.] 
