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siano neir intervallo (a, b) sommabili insieme ai loro quadrati, e le (1) soddisfino 
alle condizioni : 
p (.r) V„. (x) V„(x)dx=' 
I 0 se m — |— // 
se in = 1 , 
ove p (x) è lina funzione determinata per ciascuna successione (1), misurabile, 
limitata ed avente un limite inferiore maggiore di sero. 
La serie : 
(5) Zn A, r,: (x) , A„= p(x)f(x)V,{x)dx, 
supposta convergente, rappresenta nelT intervallo (a, b) una funsione sommabile 
insieme al suo quadrato, verso la quale converge in egual grado se si eccettuano 
i punti di un insieme, la cui misura è minore di uiui quantità -, arbil rariainente 
scelta ; è inoltre integrabile completamente per serie. 
5. La successione (1) si dice, come è noto, chiusa se, all' infuori di funzioni ad in- 
tegrale nullo, non esiste alcuna funzione 0 (x), sommabile insieme al suo quadrato, tale da 
avere : 
'b 
(6) / p [x) d {x) F, (.v) dx = 0 (/e = 1, 2, . . . . , c«) , 
o, come brevemente diremo, se non esiste alcuna soluzione effettiva delle equazioni in- 
tegrali (6). 
[n tale ipotesi risulta, qualunque sia la fix), soggetta alle condizioni sopra dette : 
•h 
(7) I p{x)\f{x)-SAx)Vdx = 0, 
e viceversa. 
Nel caso contrario la (1) si dice non chiusa, ed allora, perchè abbia luogo la (7) 
occorre che per ogni soluzione effettiva 0 (.v) della (6) risulti : 
/•'■ (•) 
/ p{x)fyx)^{x)dx = 0. 
a 
Ove la (7) sia verificata, partendo da questa, anziché dalla (3) , si può evidentemente 
ripetere il ragionamento dei due precedenti t^i;. Si arriva così al seguente risultato : 
(*) Cfr. G. Lauricella: Sopra gli sviluppi in serie di fuiiiioni ortogonali [Rendiconti del Circolo Mate- 
matico (Palermo) Tomo XXIX (i» semestre 1910)]. 
