Carlo Sederini [Memoria XIII.] 
/ pillili (il un incielile di niisiint iiiiiiore di ima quantità positiva, die può essere 
scelta cominique piccola ; è inoltre iiiteirrabile coinpletamente per serie. 
A liconoscere se le condizioni del precedente teorema sono soddisfatte, ed in partico- 
lare se won esistono soluzic.ni effetti\'e delle equazioni integrali (2), nel qual caso la suc- 
cessione (1), come è noto, si dice, chiusa, e sok) occdiie tener conto della convergenza della 
serie (4), giovano le considei'azioni, die qui vengono esposte. 
1. La propi'ietà che la (1) sia chiusa è caratterizzata dal fatto che per ogni funzione 
/ (.v) , sommabile insieme al suo quadrato nel!" intervallo {a, li), si abbia: 
(5) I P[~y)\f{x)\ dx = A,r , 
o, ciò che è lo stesso : 
■b 
(6) \ p (.V) I f(,x) - S„ (.V) I dx = 0 , 
ove SI e posto : 
S„ Ix) Zu A, F, (.r). 
1 
Per la validità della (5), che è il punto di partenza nella dimostrazione del teorema 
sopra ricordato, è necessario e sufficiente, ove la (l) non sia chiusa, che per ogni solu- 
zione effettiva delle (2) lisulti verificata la (3). 
2. Ti'asfoi'miamo la condizione espressa dalla (5). Si ha anzitutto: 
/ p(x)\f{x)—Saiv)\dx^^ I p(x)\/(x)-S„(^y)\' (l^v y^(.v) dx !• 
e, se / è il limite inferiore della p {x) nelf intervallo {a, b) : 
I I /{x) ~ S„ i.v) I dx ;^ - j- ) i /) (.v)[/(A-) — S„ (x) j'dx I p ix) dx 
donde si deduce per la (6) : 
(7) . , 'ilT / i ./"(-^'^ - 5. ix) ! dx = 0 {a< x ^ b) 
(") Cfr. la Nota sopra citata. 
