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ed a mauuior ragione 
lim 
« =; oo 
/(.r) — S„ (.V) j ^/.r=0. 
Risulta dunque : 
<S) / fi.v) (l.v = 2:,: A, l (.V) ^/.\- [a < .V ^ b) 
I fi.v) d.v = 3:,: A, j 
e, com' è evidente, la serie del secondo membro converoe in egual gi-ado nelT intervallo 
fa, b). 
[nvei'samente si supponga ora verificata la (8). Per un noto teorema (*), essendo la serie : 
co 
Zìi 
1 
convergente, come si deduce dall' eguaglianza : 
,•/' 
iy) \ p (X) I f(x) I dx ^ Zi: A,r= \ p {x) I fix) - S„ (.\-) I ^/.\- , 
che ha luogo qualunque sia ;/ , esiste una funzione f\ [.r) , sommabile insieme al suo qua- 
drato neir intervallo {a, b) , e tale che si ha : 
■'■ f " i" 
p(x) I (.V) I dx Zi: A,- , A,: = / p {x)fì ix) r", (A-) dx 
e quindi, per quanto è stato sopra detto 
jfi ix) dx = J;, J, I V, (x) dx in < .\- ^ h). 
Dal confronto di questa eguaglianza colla (8) si ricava 
j fi.vj'/x=--j 
A (.V) dx (a < a- ^ b). 
Le due funzioni /'(■«') ed f\ (■>') non possono dunque essere differenti che m un insie- 
me di punti di misura nulla, e la /"(.r) soddisfa pertanto, come la /i ('■^^J , alla (5). 
(*) Cfr. E. Fischer : Sur la convergence cu iiioyfinw [('omptcs rendus des séances de rAcadéinie des 
Sciences (Paris) tome CXLIV (i"' semestre 1907), pp. 1022-1024]. Cfr. anche la mia nota citata in prin- 
cipio. 
