4 
Carlo ^ieverini 
1 Memoria XIII.] 
Concludendo p' issiamo dunque dire : 
Affinchè siissìsia V eguaglianza 
(5) ^ P (-v)[/(.r) ]' dx = 1, A,r , A, =j p [x)f(x) F, (.v) dx , 
a a 
è necessario e sufficiente che la serie : 
Èi, Al, i:, {XI , 
integrala termine a tennine in un intervallo qualunque (a, x) (a -< x ^ b) dia l'in- 
tegrale, nello stesso intervallo, della f (x); /// particolare perchè la successione : 
(1) r, {X) 1, 1', . . . . , co) 
sia chiusa occorre che ciò si verifichi per ogni funzione soniniaììile insieme al suo 
quadralo in (a, b). 
La serie degV integrali^ quando la precedente condisione è soddisfatta, risulta 
in ogni caso convergente in egual grado al variare di x fra a e b. 
3. Da quanto è stato detto nel precedente discende facilmente una nuova dimostra- 
zione del teorema, che abbiamo in principio ricordato. 
Dalla (5), che si suppone verificata, segue infatti, come abbiamo visto : 
lim 
n - oo 
f(x) — S„ {X) I dx 
Fissata pertanto una quantità positiva a , arbitrariamente piccala, si può determinare 
un valore //' dell' indice //, tale che, per ogni n ^ //', risulti : 
I /(.V) - S„ (x) 1 dx 
r 
e quindi a maggior ragione : 
f(x) - S„ {X) dx 
r insieme F , a cui è esteso 1' integrale, potendo essere un qualsivoglia insieme misurabile 
contenuto nell'intervallo fa, b). 
Se ora [j- è una quantità positiva, abbastanza piccola da avere, tutte le volte che la 
