Sulle successioni di fnn.'^ioiii ortogonali 
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misura di F non supera ;x 
/ (.V) lìx 
f{x) — S„ (.r) dx 
risulta, qualunque sia // ; 
S„ (.v) dx 
{il =1,2, . . . , //' — l) , 
\m (T) ^ 
r 
(" = 1, 2, 
GÌ' integrali delle somme parziali ; 
S„ (.V) = A, l\ (.v) 
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della serie : 
(^^ ^"a- ^^/; r,, (.r) 
sono dunque equi — assolutamente contiìiiii, e la (4), supposta convergente, risulta per 
ciò compiei aulente integrabile per serie (*). 
Si ha cosi in particolare : 
I', (.v)r/.v = ^^, / V{x)dx {a<x^bì, 
e per la (8) che, cf)me abbiamo visto, equivale alla (5) : 
I Èi: A, f '/, (.V) dx =: I f (X) dx {a < .r ^ b). 
La serie (4) rappresenta dunque la /"(.v), fatta al più eccezione per i punti di un in- 
sieme di misura nulla ; e con ciò il tef)rema enunciato in pi-incipio è pienamente dimo- 
strato. 
4. Venendo ora ad (occuparci in modo speciale delle succesioni chiuse di funzioni ».)r- 
togonali, ci proponiamo di dimostrare il seguente teorema : 
Se V eguaglianza : 
(10) (x) \ 'f (.v) dx = J, A,r , A, = I p (x) (x) (.V) dx 
(*) Cfr. Vitali : Siiìlintepyaiione per serie [Rendic. del Gre. Mat. di P:ilei-mo T. XXIII (1907) pp. 1 57-1 35]. 
