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Carlo Severim 
[Memoria XIII. J 
]ia luogo per ogni fitiisioìie (x) , coìithnia iielV intervallo (a, b) , essa ìia del pari 
luogo, se lilla cp (x) si sost/luisce una qualunque funzione f (x) soinmabile insieme 
al suo quadralo. 
Tra le successioni (1) per le quali la (IO) si veritica, qualunque sia la funzione con- 
tinua cp (;r), ricoi'diamo (*); 
1". — Le funzioni trigonometriche («-=0, b — '1%). 
1 i cos — A' se k è pari 
V,{x) = , V, (.v) = ^ (k = 2,3,..., o3); 
t' ^ 1 sen X ., dispari 
2". — Le funzioni di Bessel, cioè le funzioni (a = 0, /)—\). 
P,,, /, ix) = P„ Ù;,, X) (/.' = 1, 2, oo) . 
ove \i. rappresenta una costante reale qualunque , (x) una (unzione, che verifica l'equa- 
zione : 
a-/^: + (2ix-h l)/;-|- A-/^^ =:0 
e X,, {k=l/2, co) le radici positive di una delle seguenti equazioni; 
P,, {B) = 0, P\ (b)=0, 3- P',, [3) - hP,,_ [z) = 0, 
Il essendo una costante diversa da zero ; 
'ò". — Le funzioni di Lame'. 
■V\ — I p(jlinomi di Tche'bicheff tó. in particolare i polinomi di Jacobi q le funzioni di 
Legendre ; 
y. — Le funzioni : 
V„ [x] (A^ = 1, 2, . . . . , OD) 
soddisfacenti alle condizioni : 
Vn, -f (X,, p — q) F, = 0 per a<x< b 
V,: - li Vi: = 0 „ .V = a 
f; + HV„ = 0 „ .\- = b, 
ove p e q sono funzioni di .v continue e positive, di cui la prima non assume mai il va- 
lore zero neir intei'vallo fa, b) , li <dd H costanti positive, e X,, una costante positiva, de- 
terminata per ogni funzione V„ {k = 1, 2, .... , co) (costante caratteristica di V/,) (**). 
Per la dimostrazione del teorema dianzi enunciato procuriamoci anzitutto una succes- 
(*) Cfr, W. Stekloff: Sur certaines é^uìitcs geiiéruìes coiiimiiiies à plusieur séries de fonclions souvent em- 
pìoyées daiis l' analyse [Ménioires de rAc.idémie Imperiale des Sciences de St. — Pétersbourg, VIIP- sèrie, voi. 
XV, N. 7 (1904) pp. 1-32]. 
Esempi relativi al caso di due e tre variabili si hanno nella stessa Memoria del Sig. Stekloff. 
r*) Cfr. \V. Steki.off : Prohìéine de rej'roidisseiiieiit d\iiie harrc liétcrogene [Annales de la Faculté des 
Sciences de Toiilouse figoi)]. 
