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unsere Curve C 3 central auf irgend eine Ebene E. Die Projection C 4 
ist eine Curve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkte d. Den In- 
flexionspunkten a\ b 4 , & derselben entsprechen die drei Schmiegungs- 
ebenen der Raumcurve C 3 , welche durch den Punkt P hindurchgehen. 
Die drei durch P gehenden Schmiegungsebenen werden dann 
insgesammt reel sein, wenn die drei Inflexionspunkte a 4 , b\ c\ von 
C sämmtlich reel sind ; und es wird nur eine Schmiegungsebene reel 
sein, wenn nur einer von den drei Inflexionspunkten reel bleibt. 
Die Realität der drei Inflexionspunkte einer Curve dritter 
Ordnung mit einem Doppelpunkte richtet sich nach der Natur des 
letzteren. Ist der Doppelpunkt ein eigentlicher, so ist nur ein ein- 
ziger Inflexionspunkt reel, während alle drei reel sind, wenn der 
Doppelpunkt ein isolirter ist. Der Doppelpunkt Ó von C 4 ist aber 
dann ein eigentlicher, wenn die durch P gehende Secante der Curve 
eine eigentiche ist, uud dann ein isolirter, wenn diese Secante eine 
ideelle ist. Wir können daher folgenden die gestellte Frage beant- 
wortenden Satz aussprechen: 
„Durch einen Punkt gehen drei reelle Schmiegungsebenen einer 
Raumcurve dritter Ordnung, wenn die durch ihn gehende Sekante 
der Curve eine ideelle ist ; und es geht nur eine reelle Schmiegungs- 
ebene durch ihn, wenn diese Secante eine eigentliche ist." 
Aus diesem Satze folgt mit Rücksicht auf das Frühere ebenfalls, 
dass die developable Fläche der Raumcurve die beiden Punktarten 
von einander scheidet. 
7. Die reeiproken Betrachtungen führen zu ähnlichen Bezie- 
hungen der Raumcurven dritter Ordnung mit den ehenen Curven 
dritter Classe, vierter Ordnung. Wir wollen dieselben nicht vollständig 
durchführen, sondern in aller Kürze einen Umriss zu geben versuchen. 
Wenn man die developable Fläche der Raumcurve, welche wir 
kurz mit F bezeichnen wollen, durch eine beliebige Ebene schneidet, 
so erhält man eine Curve dritter Classe mit einer Doppeltangente, 
also von der vierten Ordnung. Die Doppeltangente ist die in der 
schneidenden Ebene liegende Axe der Raumcurve. Je nachdem diese 
Axe eine eigentliche oder eine ideelle ist, tritt sie auch als eigentliche 
oder isolirte Doppeltangente der Schnittcurve auf. Die schneidende 
Ebene trifft die Raumcurve in drei Punkten, welche die Spitzen der 
Schnittcurve sein werden. Die den Punkten zugehörigen Schmiegungs- 
ebenen schneiden die schneidende Ebene in den Spitzentangenten. 
Die zwei, die beiden Curvenarten betreffenden Sätze, welche einander 
wechselseitig entsprechen, sind die folgenden: 
