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Vermittelest dieses Resultates lässt sich nicht nur das Volumen 
eines ellipsoidischen Abschnittes berechnen, sondern es folgt auch 
daraus, dass gleichen Körperabschnitten an der Kugel gleiche am 
Ellipsoide, dass ferner an Volumen grössten oder kleinsten Gebilden 
an der Kugel eben solche am Ellipsoide entsprechen. 
Beschränken wir uns, was den letzteren Punkt betrifft, nur auf 
Polyeder, die von lauter gleichartigen Polygonen begrenzt werden, 
von denen sich stets gleich viele zu einer Ecke vereinigen, und nehmen 
wir als erwiesen an, die regulären Polyeder seien die an Volumen 
grössten oder kleinsten unter allen der Kugel ein- oder umgeschrie- 
benen Polyedern gleicher Flächenzahl, was wegen der allseitigen Sym- 
metrie der Kugel gestattet ist, so ergeben sich bezüglich der an 
Volumen grössten oder kleinsten einem Ellipsoide ein- oder umge- 
schriebenen Polyeder manigfache Lehrsätze, von denen die wichtigsten 
im Folgenden angeführt werden: 
1. Demselben Ellipsoide lassen sich unendlich viele an Volumen 
grösste oder kleinste Polyeder von gegebener Flächenzahl ein- oder 
umschreiben; das Volumen ist für dieselbe Gattung constant und 
wird aus dem ihm auf der Kugel entsprechenden durch Multiplika- 
tion mit — gefunden. 
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2. Diese Polyeder werden von paarweise parallelen, vom Centrum 
gleich weit abstehenden Ebenen begrenzt, das Tetraeder ausgenommen, 
dessen Ebenen parallel sind zu den durch die ihnen gegenüberliegenden 
Ecken an das Ellipsoid gelegten Tangentialebenen. 
3. Jedem grössten oder kleinsten Polyeder lässt sich ein mit 
dem gegebenen homaxales und ähnliches Ellipsoid ein oder um- 
schreiben; für dieses ist das Polyeder ein kleinstes oder grösstes. 
Das eingeschriebene Ellipsoid berührt die Ebenen des Polyeders in 
den Mittelpunkten der durch sie am umschriebenen abgeschnittenen 
Ellipsen. 
4. Die Pyramiden, deren Scheitel das Centrum, deren Basen 
die das Polyeder begrenzenden Polygone bilden, sind an Volumen gleich. 
5. Es verhalten sich daher die Flächeninhalte der ein Polyeder 
begrenzenden Polygone verkehrt wie die Abstände letzterer vom 
Centrum des Ellipsoides. 
6. Die Begränzungsflächen der Polyeder haben unter allen den 
durch die Begrenzungsebenen am umschriebenen Elipsoide erzeugten, 
Ellipsen eingeschriebenen Polygonen von bestimmter Seitenzahl den 
grössten Flächeninhalt. 
