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die Gleichung in | und rj vom n-ten Grade, so sagen wir, sie stelle 
ein „symetrisches Elementensystem n-ten Grades vor." Dasselbe wird 
nach Art. 3. 2n Doppelelemente der dort besprochenen Art besitzen. 
Ein symetrisches Elementensystem lten Grades z. B. stellt eine 
quadratische Involution vor. Ueberhaupt sind die symetrischen Ele- 
mentensysteme n-ten Grades die natürlichste Quelle der Involutionen 
(n + l)-ten Grades und es ist, damit erstere in letztere übergehen 
nur nöthig, dass innerhalb einer (n + 1) elementigen Gruppe vollkom- 
mene Vertauschungsfähigkeit herrsche. 
5. Es kann geschehen, dass von den n Elementen «/, welche 
einem Elemente x entsprechen, zwei zusammenfallen. Ein solches 
Element nennen wir ein Doppelelement „des Gebildes Gn u , während 
dann das x ein „Verzweigungselement des Gebildes Gm" heisst. 
Es ist nicht schwer die Zahl der in ein em der beiden Gebilde 
auftretenden Doppel- und Verzweigungselemente festzustellen. 
Zu dem Behufe ordne man die n, dem x entsprechenden Ele- 
mente y des Gebildes Gn einander verwandtschaftlich zu. Man er- 
hält dadurch im Gebilde Gn ein symetrisches Elementensystem vom 
Grade : m (n — 1). 
Um nämlich zu irgend einem Elemente y von Gn die ihm in 
dem symetrischen Elementensysteme entsprechenden Elemente zu 
finden, muss mann die, diesem Elemente in Gm entsprechenden Ele- 
mente x, deren es m gibt, fixiren, und zu ihnen abermals in Gn die 
entsprechenden Elemente construiren. Nun entsprechen jedem x 
ausser dem schon betrachteten y noch (n — 1) andere Elemente von 
6rn, welche dem y im erwähnten symetrischen Elementensysteme zu- 
geordnet sein werden. Desshalb entschprechen in diesem Systeme 
jedem Elemente m (n — 1) Elemente, und somit ist das System vom 
Grade m (n — 1). Die 2m (n — 1) Doppelelemente desselben sind 
aber dann offenbar zugleich die Doppelelemente von Gn. Somit: 
„Das w-deutige Gebilde Gn enthält 2m (n — 1) Doppelelemente 
und folglich Gm 2n (m — 1)." Selbstverständlich wird Gn 2n (m — 1) 
und Gm 2m (n — 1) Verzweigungselemente enthalten. 
6. In einem symetrischen Elementensysteme hat man zweierlei 
Doppelelemente zu betrachten, welche wir als Doppelelemente „erster 
Art a und als solche „zweiter Art" unterscheiden wollen. 
Ein Doppelelement erster Art ist ein solches, welches durch 
das Zusammenfallen eines Elementes mit einem seiner entsprechenden 
entsteht. Derartige Doppelelemente haben wir im Art. 4. betrachtet 
