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und haben deren Zahl gleich 2n gefunden, wenn w der Grad des 
Elementensystemes ist. 
Ein Doppelelement zweiter Art entsteht, wenn von den n einem 
Elemente entsprechenden Elementen zweie zusammenfallen. 
Die Zahl der Doppelelemente zweiter Art findet man durch ein 
dem in Art. 5. angewendeten ganz ähnliches Raisonement gleich 
2n (n — 1). 
7. Sei C eine algebraische Curve w-ter Ordnung ohne vielfache 
Punkte oder Spitzen also eine Curve, welche von jeder Geraden ihrer 
Ebene in n Punkten geschnitten wird. 
Man nehme in der Ebene der Curve G zwei ganz beliebige 
Punkte O, P an. Jeder durch P gehende Strahl schneidet G in n 
Punkten a und wir wollen die von 0 nach diesen Punkten gehenden 
Strahlen einander zuordnen, Dadurch entsteht am Punkte 0 ein sy- 
metrisches Strahlensystem, dessen Ordnung offenbar n (n — 1) beträgt. 
Denn um zu einem Strahle durch 0 die entsprechenden zu finden, 
hat man seine n Schnittpunkte, welche auf G entstehen, mit P zu 
verbinden, von welchen Verbindungslinien jede die Curve G in (n — 1) 
weiteren Punkten schneidet, die mit 0 verbunden entsprechende 
Strahlen, liefern. 
Jedem Doppelstrahle erster Art entspricht im Büschel P eine 
durch P gehende Tangente der Curve G. Da sich nun, wie man so- 
fort findet, der Strahl OP in dem Strahlensysteme n (n — l)mal selbst 
entspricht, also n (n — 1) Doppel elemente repräsentirt und da das 
Strahlensystem im Ganzen 2n (n — 1) Doppelelemente besitzt, so 
wird es n (n — 1) solcher Doppelelemente im Strahlensystem geben, 
welche durch P gehende Tangenten von G liefern d. h. es wird 
n(n— 1) durch P gehende Tangenten von G geben. 
Der Punkt P ist ebenso wie der Punkt 0 beliebig, und somit 
haben wir durch vorstehende Betrachtung den bekannten Satz be- 
wiesen : 
„Eine Curve w-ter Ordnung ohne mehrfache Punkte ist von der 
n (n — l)-ten Classe." 
8. Ebenso leicht ergibt sich der Einfluss mehrfacher Punkte auf 
die Classenzahl einer Curve. 
Ist nähmlich R ein r-facher Punkt von C, so wird der bei B 
unendlich nahe gehende Strahl des Systemes 0 die Curve in r zu 
R unendlich nahen Pukten schneiden und daher jeder aus P nach 
einem derselben gehende Strahl in (r — 1) weiteren zu R unendlich 
nahen Punkten. 
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