15 
(1) zwei gleiche Wurzeln für x liefert. Eine Punktgruppe, in welcher 
ein Doppelpunkt vorkommt, nennen wir eine Doppelpunktsgruppe. 
Soll (1) eine zweifache Wurzel besitzen, so müssen die 
Gleichungen : 
f(x)-Xcp(x)=0 
fi (s) _ i <p\(x) = O 
gleichzeitig bestehen, aus denen sich durch Elimination von x eine 
Gleichung : 
if (A) = O 
ergiebt, welche in A vom 2(n — l)ten Grade ist und die 2(w — 1) 
Doppelpunktsgruppen liefert.*) 
3. Wir wollen die 2(n — 1) Doppelelemente der Involution in 
etwas anderer Weise bestimmen, indem wir eine Gleichung 2(n — l)ten 
Grades bilden werden, deren Wurzeln unmittelbar die Abscissen der 
Doppelpunkte sind. 
Wir wollen zwei Punkte m, p von G als entsprechende Punkte 
bezeichnen, wenn sie einer und derselben Punktgruppe der Involution 
angehören. Wenn x die Abscisse von m und y die Abscisse des 
ersterem Punkte entsprechenden Punktes p ist, so müssen für ein 
und denselben Wert von A die beiden Gleichungen bestehen: 
f(x)- X 9 (x) = 0\ 
f{y)-l<p{y)=o}-- W. 
Durch Elimination von A zwischen diesen beiden Gleichungen 
ergiebt sich eine- Beziehung zwischen den Abscissen x A y zweier ent- 
sprechenden Punkte; nähmlich: 
f(*)<Pto)-fto)9(*) = 0 (5) 
Die linke Seite der letzten Gleichung ändert bei Vertauschung 
der Variablen x und y bloss das Zeichen und wird durch die An- 
nahme x = y erfüllt. Hieraus folgt, dass 
f ié <p öO - f(y) <p ($ = O — y) F(x,y) 
sein müsse, wobei F {x l y) eine symmetrische Funktion von x, y und 
zwar vom (w — l)ten Grade ist. 
Unterdrückt man den Faktor (x — y), so ergibt sich als Be- 
ziehungsgleichung zwischen zwei entsprechenden Punkten: 
F(x,y) = 0 (6) 
Es fällt nicht schwer, die Form der letzten Gleichung im All- 
gemeinen so wie in jedem speziellen Falle zu ermitteln. 
*) Siehe Cremona's ebene Curven pag. 28 der deutschen Uehersetzung. 
