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sein müsse, wenn auch die Ordinatenaxe eine Tangente der Curve 
im Doppelpunkte sein soll. 
Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Doppel- 
punkte kann demnach, wenn man die Doppelpunktstangenten zu 
Coordinatenaxen wählt, in die Form: 
ax 3 -f- bx 2 y -f- cxy 2 -f- dy 3 ~\- fxy es O 
gebracht werden. 
Setzt man/ — — m % so geht die letzte Gleichung über in: 
ax 3 -f- bx 2 y cxy 2 + dy 3 = .... (2) 
was also die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Doppel- 
punkte ist, wenn man die Doppelpunktstangenten zu Coordinatenaxen, 
also den Doppelpunkt selbst zum Coordinatenanfangspunkt nimmt. 
2. Eine durch den Doppelpunkt gehende Gerade T wird die 
Curve dritter Ordnung, ausser im Doppelpunkte noch in einem an- 
deren Punkte p schneiden, dessen Coordinaten man leicht wie folgt 
bestimmen kann. 
Die Gleichung einer durch den Doppelpunkt gehenden Geraden Tist : 
y tíá tx . . . . (3) 
da der Doppelpunkt zugleich der Coordinatenanfangspunkt ist. Führt 
man den Werth von y aus Gleichung (3) in die Gleichung (2) ein, so 
ergiebt sich: 
x 3 (a + U + et 2 + dt 3 ) = mxH 
und wenn man den vom Doppelpunkte herrührenden Faktor x 2 unter- 
drückt, so bleibt 
x(a + bt + et 2 + dt 3 ) = mt 
woraus sich für die Abscisse des Punktes p der Wert 
x - a + U + et 2 -f dt 3 W 
ergibt. Gleichung (3) liefert endlich für die Ordinate von p den Ausdruck : 
mt 2 
a + bt + ct 2 + dť 
Die Gleichungen (4) und <5) lehren, dass jedem Werte von t 
ein bestimmter Punkt p der Curve driter Ordnung entspricht, während 
Gleichung (3) zeigt, dass umgekehrt auch jedem Punkte der Curve 
ein bestimmter Wert von t entspricht. 
Wir wollen der Kürze halber die Grösse t als den Parameter 
des entsprechenden Curvenpunktes p bezeichnen. 
3. Nachdem wir den Begriff des Parameters eines Punktes 
unserer Curve festgestellt haben, wollen wir zum Beweise des nach- 
stehenden fruchtbaren Satzes schreiten. 
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