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Anwendung zu, dass sich durch ihn der Geometer wie mit einem 
Schlage im Besitze eines alle, die Curven dritter Ordnung mit einem 
Doppelpunkte betreffenden Fragen beherrschenden Hilfsmittels be- 
findet. 
Es mag uns erlaubt sein nur einige der zunächstliegenden An- 
wendungen des besagten Satzes zu machen. 
Da man aus der Gleichung (7), wenn (3w— 1) von den Para- 
metern bekannt sind, den erübrigenden nim unzweideutig finden kann, 
so liefert diess sofort folgenden auch für Curven dritter Ordnung im 
allgemeinen bekannten Satz: 
„Alle Curven n-ter Ordnung, welche durch (3n — 1) auf 
einer Curve dritter Ordnung vierter Classe liegende 
Punkte hindurchgehen, gehen noch durch einen weiteren 
festen Punkt dieser Curve hindurch."*) 
5. Wenn eine willkürliche Gerade G unsere Curve dritter 
Ordnung in drei Punkte t y , t 2 , t 3 schneidet, deren drei Parameter 
durch dieselben drei Buchstaben bezeichnet sein mögen, so ist: 
t L t 2 t 3 =z Je . . . . (8) 
Ist die Gerade G eine Tangente welche im Punkte t x berührt, 
während sie die Curve überdiess im Punkte t 2 schneidet, so ist t 2 
der Tangentialpunkt von t Y und es muss nach (8), wenn man statt t t 
und t 2 , t x setzt und statt t 3 dann t 2 : 
t, 2 t 2 = h (9) 
welche Gleichung die Beziehung zwischen einem Punkte und dessen 
Tangentialpunkte darstellt. 
Aus (9) folgt: 
woraus folgt, dass man aus einem Punkte t 2 der Curve an sie zwei 
Tangenten legen könne, deren Berührungspunkte -f- '|/'— und — 
sind und welche harmonisch liegen bezüglich der beiden Doppel- 
punktstangenten. 
Wenn G eine Inflexionstaugente ist und wenn j der Inflexions- 
punkt ist, so muss nach (8): 
f = h 
sein. Man erhält also drei Inflexionspunkte nähmlich 
3 3 3 
j x =y"k j 2 - a Y 7c j 3 = a" Y h 
*) Vergleiche Cremona's ebene Curven pag. 65 der deutschen Ausgabe. 
