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y (x) - Z y m f | m dx , (7) 
besteht, welche an und für sich auch der Gleichung (1) genügen 
muss, da für den Fall, dass 
A Y = A 2 = . . . = A a = 0 
gesetzt wird, unmittelbar aus (6) 
y = 2 yk f Im dx = <p (x) 
folgt. 
Daraus ergibt sich nun, dass es möglich sein muss, diese so- 
genannte Ergänzung des Integrals der reducirten Glei- 
chung in einzelnen Fällen selbstständig zu entwickeln und so die 
Bildung und Auflösung der beiden Systeme (4) und (5) zu umgehen, 
die Methode der Variation der Constanten somit entbehrlich zu 
machen. 
Zu welchen Kesultaten dies in den einfachsten Fällen führt, 
soll nun im folgenden angeführt werden. 
I. 
Sind in der Gleichung (1) die Coéfficienten 
X n , X n _i , . . . , X 1 , X 0 
constante Grössen und 
«/. X = cc + ßx + yx* + . . . + fix m , (8) 
so hat, wie leicht einzusehen ist, auch <p (x) dieselbe Form wie X ; 
setzt man daher 
<p (x) = A + Bx + Cx 2 + . . . + Mx m (9) 
und führt diesen Werth statt y in die Gleichung (1) ein, so be- 
stimmen sich nach der Methode der unbestimmten Coéfficienten un- 
mittelbar die unbekannten Constanten 
A, B, p ... , M, 
wodurch auch <p (x) bestimmt ist, ohne dass man die particulären 
Integrale der reducirten Gleichung aufzusuchen braucht. 
Ebenso ist für den Fall, dass 
ß/. Xz=.aeßx, (10) 
<p (x) von derselben Form wie X , daher man 
<p (x) = A eßx 
setzen und durch Einführung dieses Werthes in die Gleichung (1) 
das noch unbekannte A bestimmen kann. Mann erhält nähmlich, wenn 
X n ß» + Xn-! 0-1 + . . . + X, ß + X, =Z P (1) 
gesetzt wird, unmittelbar 
