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j) m und p n durch zwei mit a in gerader Linie .Hegende Wende- 
punkte ß und y. 
12. Bilden drei Punkte ab c ein Inflexionstripel, so haben 
ihre Tangentialpunkte a 4 b 4 & dieselbe Eigenschaft. 
Beweis. Wegen (5) liegen a 4 b c, b 4 c a, c 4 ab in je einer 
Geraden. Bezeichnet man nun mit a" b" c" die Tangentialpunkte 
von a 4 b 4 c\ so sind a" b 4 & die Tangentialpunkte von a 4 b c und liegen 
daher nach einem bekannten Satze ebenso wie diese in einer Ge- 
raden. Aus demselben Grunde befinden sich auch b' 4 c 4 a 4 , c" a 4 b 4 
in je einer Geraden, und folglich (11) bilden a 4 b 4 c 4 ein Inflexions- 
tripel. (Prof. Küpper.) 
13. Zieht man aus jedem Punkte eines Tripels ab e die vier 
Tengenten an die Curve, resp. mit den Berührungspunkten a l a 2 a 3 a 4 , 
\ ž> 2 \ c i c i c -i c 4-> so bilden diese zwölf Punkte vier Inflexions- 
tripel, indem jeder der Berührungspunkte a mit einem (und nur 
einem) der Berührungspunkte b, und einem (und nur einem) der Punkte 
c ein Tripel bildet. 
Beweis. Seien wieder a 4 b 4 & die Tangentialpunkte von ab c, 
dann liegen b 4 c a in gerader Linie (5). Zieht man die Tangente 
b 4 b und eine der Tangenten aus «?, z. B. c Ch, so geht nach einem 
bekannten Satze die Gerade b c h durch den Berührungspunkt einer 
der Tangeuten aus a; sei derselbe ah, also b c h a h bilden eine Ge- 
rade. Ebenso liegen c 4 ab auf einer Geraden, und daher trifft die 
Verbindungslinie der Berührungspunkte c und a h den Berührungs- 
punkt einer aus b gezogenen Tangente, der mit b h bezeichnet werden 
möge, so dass c a h b h ebenfalls eine Gerade bilden. Dann haben also 
die drei Punkte a h b h c h die Eigenschaft, dass die Tangentialpunkte 
b und c von b h und c h resp. auf c h a h und a h b h liegen. Demnach 
(7) liegt auch der Tangentialpunkt a von a h mit h c h in einer Ge- 
raden, und (11) a h b h c h bilden ein Tripel. — Dieses aber ist das 
einzige aus den Berührungspunkten gebildete Tripel, das den Punkt 
a h enthält. Denn ist b x c y ein solches Tripel, so muss a^ b x durch 
c, und a h c y durch b gehen, aber die Punkte, in welchen a h c und 
a h b die Curve treffen, sind nach den obigen b h und c h , daher fällt 
K mit b ih und c y mit c h zusammen. 
14. Wenn ein Kegelschnitt die Curve in einem Punkte a 
eines Tripels ab c osculirt, und ausserdem in q r s schneidet, so 
liegen q r s mit ab c m einem neuen Kegelschnitte. Denn den vier 
Pankten q r s a liegt der Tangentialpunkt a 4 von a gegenüber (8), 
bc aber geht durch a 4 hindurch (5), also liegen b c in einem durch 
qr s a gehenden Kegelschnitte. (Prof. Küpper.) 
