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Halbiert man den Winkel der beiden reellen Tangenten von p 
durch ph und seinen Nebenwinkel durch ph\ so sind dann pm, ph, 
pn, ph' vier harmonische Strahlen, und man sieht, dass zum Strahle 
ph das Perpendikel ph' gehört und umgekehrt zu h'p gehört die 
Senkrechte hp ; es sind somit hp, h'p weitere Tangenten der Parabel U. 
Befindet sich p innerhalb des Kegelschnittes, so wird es in der 
in p auftretenden Involution mit imaginären Doppelstrahlen ein recht- 
winkliges Paar geben, welches dieselbe Rolle spielt wie ph, ph'. 
Es ist also unter allen Umständen die Verbindungslinie des 
Punktes p mit dem Mittelpunkte o des gegebenen Kegelschnittes die 
Directrix der Parabel 71, weil sowohl von o als auch von p die 
Tangenten an K rechten Winkel einschliessen. 
Andere Ableitung der Parabel II. — Wir wollen die bisher 
gewonnenen Resultate auf anderem Wege ableiten und dadurch er- 
weitern. Nehmen wir an, dass reelle Tangenten von p auf K existiren. 
Dann lässt sich durch p und die Berührungspunkte m und n auf 
den letzteren ein Kreis $ legen, der auf der Polaren P von p die 
nämliche Polinvolution erzeugt wie K (deren Doppelpunkte m und n 
sind). Bestimme ich nun den zu p in der krummen Involution auf 
dem Kreise ® entsprechenden p\ indem ich den Pol p von P in 
Bezug auf den Kreis ermittele und $ mit p\> in p' schneide, dann 
ist folgendes bekannt: 
„Projiciert man die conjugirten Pole auf P bezüglich aus den 
Centren p und p' so erzeugen diese Büschel den Kreis $ und um- 
gekehrt, projiciert man die Punkte des Kreises bezüglich aus den 
Centren p und p' auf P, so erhält man wieder die Polinvolution." 
Wenn ich also irgend eine Transversale pT ziehe, welche P 
in a, R in ß schneidet, so erhalte ich ihren Pol, wenn ich ß aus p' 
nach a auf P projiciere. Es frägt sich nun wieder, was die Senkrechte 
von a auf pT einhüllt, während letztere chn Büschel p durchlauft. 
Bemerken wir, dass der Winkel bei ß als Peripheriewinkel über arc 
pp' constant ist, also auch der Winkel bei a, der ihn zu einem 
Rechten ergänzt. 
Nun ist aber folgender Satz allgemein bekannt: 
„Bewegt sich ein Winkel von constanter Grösse so, dass einer 
seiner Schenkel durch einen fixen Punkt geht, während der Scheitel 
eine fixe Gerade durchlauft, so hüllt der andere eine Parabel ein, 
welche den fixen Punkt zum Brennpunkte und die fixe Gerade zu 
einer Tangente hat." 
