130 
und diese somit mit TT identisch, weil sie mit ihr vier Tangenten 
gemein hat. Zugleich haben wir zwei neue Tangenten, sowie neue 
Construction des Brennpunktes p' erhalten und eingesehen, dass p' 
zu p sowohl auf dem Kreise $ als auch bezüglich mn und f x f 2 
conjugirt ist 
Ersetzen wir den Kegelschnitt K durch einen zu ihm confocalen 
K', so bleibt die Parabel 77 durch die Axen als Tangenten und p r 
als Brennpunkt bestimmt, also auch in dem Falle, wenn wir K r so 
wählen, dass sich p innerhalb desselben befindet. 
Wir brauchen also den zweiten Fall nicht zu untersuchen. 
Weil das rechtwinklige Strahlenpaar in p sowohl den Winkel 
mpn als auch ^CfxPf^ halbieren muss, so folgt daraus, dass 9C/i V m 
Bisher haben wir sowohl über K als auch über besondere Lagen 
von p keine spezielle Annahme gemacht. 
Die letzte Ableitung der Parabel führt aber leicht zu folgenden 
Resultaten : 
Ist der angenommene Kegelschnitt ein Kreis, so zerfällt die dem 
Punkte p entsprechende Parabel in den Mittelpunkt o des Kreises 
und den unendlich fernen Punkt des zu op conjugirten Diameters. 
Ist der gegebene Kegelschnitt eine Ellipse, Hyperbel oder Pa- 
rabel, dann entspricht ihm eine eigentliche Parabel. 
Ist der gegebene Punkt p auf einer Axe von üT, so zerfällt die 
Parabel in den entsprechenden p' und den unendlich fernen auf der 
anderen Axe. 
Ist der Punkt p im Unendlichen, so zerfällt 77 in den Mittelpukt 
von K und den unendlich fernen Punkt auf dem conjugirten Diameter 
Fällt endlich p mit dem Mittelpunkte von K zusammen, so über- 
geht 71 in die unendlich ferne Gerade, die doppelt zu zählen ist. 
Aus dem Vorigen ergeben sich unmittelbar folgende bekannte 
Sätze über confocale Kegelschnitte: 
„Die Polaren eines Punktes p in Bezug auf ein System confo- 
caler Kegelschnitte hüllen eine Parabel TT ein," von welcher also alles 
Angeführte gilt. 
„Zieht man von einem Punkte p Tangenten an ein System con- 
focaler Kegelschnitte und errichtet Normalen in den Berührungs- 
punkten, so hüllen diese die nämlichen Parabel TT ein." 
